1、t分布（t distribution）

從一個平均數為、方差為的正態總體重抽樣，或者在一個非正態總體里抽樣只要樣本容量有足夠大，則所得一系列樣本平均數的分布必趨于正態分布，具有,且遵循正態分布。測驗,這類測驗稱u測驗。

但是測驗只有在總體方差為已知，或者未知但樣本容量相當大，可用直接作為估計值應用。當樣本容量不太大（n<30）且未知時，樣本均方估計總體方差，則其標準化離差u的分布不呈正態，而作t分布，具有自由度df或者n-1。

?? ? ? ? ? ??:樣本平均數的標準誤，?的估計值，s為樣本標準差，n為樣本容量 ? ? ? ?

t分布又稱學生氏分布（student's t distribution）,是一組對稱密度函數曲線，具有一個單獨參數v以確定某一特定分布。當自由度增大時，t分布趨于正態分布。

t分布的特征

（1）參數：=0(假定v>1);(假定v>2)

（2）形狀：t分布曲線是對稱的，圍繞其平均數=0向兩側遞降；

? ? ? ? ? ? ? ? ? 自由度較小t 分布比之自由度較大的t分布具有較大的變異度

? ? ? ? ? ? ? ? ?它和正態曲線比較，t 分布曲線稍微扁平，頂峰略低，尾部稍高，是一組隨自由度而改變的曲線，受自由度制約，概率隨自由度不同而改變，自由度>30時接近正態曲線，無窮時，與正態曲線合一。

? ? ? ? ? ? ? ?

在t表中，若v相同，則P越大，t越小；P越小，t越大。在假設測驗時，當算得的|t|大于或等于表上查出的時，則表明其屬于隨機誤差的概率小于或等于規定的顯著水平，因而可否定假設。若,則接受無效假設。

用t分布進行的假設測驗稱t測驗（t-test）。

2、單個樣本平均數的假設測驗

? ? ? ?測樣某一樣本所屬總體平均數是否和某一指定的總體平均數相同。

? ? ???? ? ? ? ? ?

3 、兩個樣本平均數相比較的假設測驗

兩個樣本平均數的相差，以測驗這兩個樣本所屬的總體平均數有無顯著差異。測試方法因試驗設計的不同而分為成組數據的平均數和成對數據的比較兩種。

（1）成組數據的平均數比較（隨機化設計）：如果兩個處理為完全隨機設計的兩個處理，各供試單位彼此獨立，不論兩個處理的樣本容量是否相同，所得數據皆為成組數據，以組（處理）平均數作為相互比較的標準。成組數據的平均數比較又依兩個樣本所屬的總體方差是否已知、是否相等而采用不同的測驗方法。

i: ? ?兩樣本總體方差已知時，用u測驗? ?

由抽樣分布的公式知，兩樣本平均數?的差數標準誤:

??? ? ? ? ?

在假設下，正態離差，可對兩樣本平均數的差異做出假設測驗。

ii: ? 兩樣本總體方差未知但可假設兩方差相等，又為小樣本，t測驗 ??

首先從樣本變異算出平均數差數,作出對的估計。由于假定,應為兩樣本均方的加權平均值：

又稱合并均方，兩樣本平均數的差數標準誤為：

? ? ? ? ?若 ??，則 ?

則有：

假設，

iii: ?兩樣本的總體方差未知且不等時，用近似t測驗

由于，差數的標準誤需用兩個樣本的均方分別估計:?? ? ??

但是將上式帶入中，所得的t值不再做成準確的t分布，僅能進行近似的t測驗。在做t測驗時需先計算k值和:

（2）成對數據的比較（配對設計能大大減小誤差）

若試驗設計是將性質相同的兩個供試單位配成一對，并沒有多個配對，然后每一配對的兩個供試單位分別隨機地給予不同處理，則所得觀察值為成對數據。

成對數據，由于同一配對內兩個供試單位的試驗條件很是接近，而不同配對間的條件差異又可通過同一配對的差數予以消除，可以控制試驗誤差，具有較高精確度。

在分析試驗結果時，只要假設兩樣本的總體差數的平均數,而不必假設兩樣本的總體方差。

設兩個樣本的觀察值分別為,共配對n對，各個對的差數為,差數的平均數，則差數平均數的標準誤為：?? ? ? ?

自由度v=n-1。假設,則

成對數據和成組數據平均數比較依據條件不同。前者假定各個配對的差數來自差數的分布為正態的總體，每一配對的兩個供試單位彼此相關；后者假定兩個樣本均有共同或不同方差的正態總體，兩個樣本的供試單位彼此獨立。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的统计假设测验------（二）平均数的假设测验（t测验原理与公式）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。