outcomes

能夠通過(guò)Galerkin加權(quán)余量法推導(dǎo)出二維傳熱元件的有限元公式。 能夠理解FE矩陣的推導(dǎo)（2D三角形和矩形線性元素）。 能夠理解FE解決方案和用它來(lái)解決2D傳熱問(wèn)題。

2D熱傳導(dǎo)問(wèn)題

在有標(biāo)準(zhǔn)2D剖面的長(zhǎng)結(jié)構(gòu)中的熱傳導(dǎo)：
eg：管道隔熱

二維翅片的傳熱：
eg：散熱器設(shè)計(jì)

我們推導(dǎo)了一般情況下的熱對(duì)流和產(chǎn)熱的公式

它可以更簡(jiǎn)潔地寫(xiě)成向量形式

散度定理&Green第一恒等式

回想一下，對(duì)于一維鐵的公式，我們使用分部積分來(lái)減少溫度的導(dǎo)數(shù)一個(gè)階數(shù)：

可以對(duì)二維和三維傳熱元件的公式進(jìn)行類(lèi)似的處理。它被稱(chēng)為Green第一恒等式，這可以從散度定理推導(dǎo)出。

散度定理表明：通過(guò)封閉邊界Γ的向量場(chǎng)F的外在通量==在區(qū)域Ω邊界內(nèi)的散度區(qū)域積分

場(chǎng)的散度可以表示為：

把散度定理帶入：

2D傳熱元素的FE公式化

給出了二維傳熱的控制方程：

將WRM應(yīng)用于上述控制方程，即Galerkin的WRM積分方程：

現(xiàn)在用傳導(dǎo)項(xiàng)上的Green公式：

設(shè)置

得出

將傳導(dǎo)積分代入上述表達(dá)式，重新排列給出

假設(shè)元素的溫度場(chǎng)

使用場(chǎng)近似，并應(yīng)用Galerkin WRM


展開(kāi)傳導(dǎo)矩陣，

對(duì)于對(duì)流項(xiàng)

2D傳熱元素-熱源矢量

對(duì)于二維分析，熱源g
?分布在區(qū)域內(nèi)(像一個(gè)暴露在陽(yáng)光下的盤(pán)子)，
?線源(如加熱盤(pán)內(nèi)的加熱盤(pán)管)
?離散點(diǎn)源(如連接金屬的點(diǎn)焊)

對(duì)于分布熱源，熱源矢量必須在定義域上積分

對(duì)于離散的點(diǎn)源，應(yīng)該在這些位置上放置節(jié)點(diǎn)。對(duì)于線源，應(yīng)該沿著這條線點(diǎn)亮元素。熱源矢量將包括額外的貢獻(xiàn)
【線積分只發(fā)生在熱源作用的單元邊緣。】

注意，離散點(diǎn)源和線源應(yīng)該分別計(jì)算，而不是在元素矩陣計(jì)算之內(nèi)。這將避免重復(fù)的效果。

根據(jù)傅里葉熱傳導(dǎo)定律，

這是法向熱通量

這樣，邊界通量積分可以改寫(xiě)為

對(duì)于一個(gè)典型的二維有限元，單元邊界通常由三到四條邊組成。換句話說(shuō),


這些線積分可以分為:
內(nèi)部類(lèi)型-當(dāng)兩個(gè)相鄰元素是公共的時(shí)候。在這種情況下，熱通量相互抵消，因此可以忽略它們。

邊界類(lèi)型-當(dāng)它落在域的邊界上時(shí)。在這里，積分必須根據(jù)給定的邊界條件來(lái)求值。

邊界條件有三種基本類(lèi)型，即:

基本類(lèi)型-溫度是規(guī)定的。這也叫做Dirichlet B.C.。在這種情況下，{b}在方程組中仍然是一個(gè)未知數(shù)。

自然類(lèi)型-溫度或熱流的導(dǎo)數(shù)是已知的。它也被稱(chēng)為Neumann B.C.，在這種情況下，{b}是一個(gè)已知的向量。

阻抗類(lèi)型-當(dāng)溫度和熱通量相關(guān)時(shí)發(fā)生。在傳熱分析中，它也被稱(chēng)為Robin b.c，它對(duì)應(yīng)于熱對(duì)流邊界條件。

2D線性矩形元素

現(xiàn)在，考慮“標(biāo)準(zhǔn)”矩形元素，它的方向是與坐標(biāo)軸平行的邊。

這個(gè)元素有四個(gè)節(jié)點(diǎn)。它的形狀函數(shù)由雙線性項(xiàng)xy構(gòu)成。
這意味著它能夠捕獲主變量的整個(gè)線性場(chǎng)變化。
對(duì)于二次變量，由于形狀函數(shù)中的雙線性項(xiàng)，它會(huì)有線性變化。
由于其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，矩陣系統(tǒng)的FE積分也可以解析計(jì)算。

用拉格朗日插值法，形狀函數(shù)：

我們可以推導(dǎo)出等厚度t的線性矩形單元的FE矩陣為：

傳導(dǎo)矩陣：

對(duì)流矩陣：

熱源向量：

邊界效應(yīng)：

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的FEA 笔记4的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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