寫在開頭: 非線性方程，就是因變量與自變量之間的關系不是線性的關系，這類方程很多，例如平方關系、對數關系、指數關系、三角函數關系等等。求解此類方程往往很難得到精確解，經常需要求近似解問題。本文將從一道數列題開始，引出一種求解非線性方程的基礎方法：簡單迭代法。然后講解科學計算器的求解方法：牛頓切線法。最后會用python實現兩種方法并可視化。

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不動點迭代法

引子

先來看一道簡單的數列題。

$$已知數列a_n的遞推公式a_{n+1}=\frac{1}{a_n+1},且a_1=1,求\underset{x\to \infty }{\lim }{a}_n$$

解此題只需令${\lim }_{x\to \infty }{a}_n=A,解方程A=\frac{1}{A+1}$即可。但借助科學計算器還有一種投機取巧的方法：利用遞推公式不斷求$a_n$。當n足夠大時,$a_n(如a_{100})$即可近似為$a_n$的極限。而這一過程借助科學計算器的“Ans”功能可以很方便地實現。

可以發現：我們用這種方法繞開了二次方程的求根公式解出了方程$x=\frac{1}{x+1}$的一個實數數值解。那么對于任意形如$x=g(x)$的方程，是不是也可以用構造數列$a_{n+1}=g(a_n)$來求解呢？這就是不動點迭代法了。

具體操作

不動點迭代又稱為簡單迭代，用以求解方程$f(x)=0$。方法如下：

方程轉換為$x=g(x)$

給$x_0$設定一個初值

$x_{i+1}=g(x_i)$

若滿足結束條件（i大于某個預設的值，或$|x_{i+1}?x_i|$小于某個預設的值）$x_{i+1}$為解，否則返回第3步

這里將方程$f(x)=0$轉換為$x=g(x)$是很容易的，比如對于$f(x)=x?cos(x)$，求解$f(x)=0$即為求解$x?cos(x)=0$，即$x=cos(x)$，因此$g(x)=cos(x)$；但是需要注意轉換方法不唯一，這可能會影響計算結果。

缺點

• 只能求一個解
• 函數$\phi (x)在區間[a,b]內$必須滿足以下的收斂條件：
  1. 有一階導數
  2. 對任意$x\in [a,b]$，總存有$\phi (x)\in [a,b]$
  3. 對任意$x\in [a,b]$，總存有0<L<1,使得$|{\phi (x)}^{\prime }|\le L<1$
• 為滿足收斂條件，需要選取適當初始值

牛頓切線法

鑒于不動點迭代法有時無法滿足的收斂條件，科學計算器在求解非線性方程時會運用另一種方法–牛頓切線法，又稱牛頓法。
牛頓切線法也是一種迭代法。它的操作很簡單，首先通過移項把方程轉化成求函數$f(x)$的零點的問題。在給定一個迭代點$x_i$時，作$f(x)$在$x_i$的切線$y?f(x_i)=f^{\prime }(x_i)(x?x_i)$，$x_{i+1}$為切線與x軸的交點$x_i?\frac{f(x_i)}{f^{\prime }(x_i)}$。與不動點迭代法一樣，在滿足結束條件時終止迭代。

如何理解這種操作呢？可以把$f(x)$的切線看作$f(x)$在$x_i$的一階泰勒近似，既然函數的切線與函數是相似的，他們的零點也是相近的。那就把切線的零點當做目標值的近似。

接下來是一個例子，所求方程為$0.1x^2?x?3=0,x_0=1$，共迭代了兩次。

可以看到，迭代兩次后的$x_2$已經相當接近$x_{target}$了。

一般我們希望x盡可能接近理論值$x_{target}$，但是有時確切的理論值是未知的，所以也可以令$|y|$盡可能小。現在我們知道了在使用卡西歐計算器時，可以使用L-R的功能來估算$|y|$（即誤差）。而輸入x的功能是為了設置迭代的初始點。

除了求解方程，牛頓法還有更廣泛的應用。在已知某函數的導數時，可以令導數為零，解方程得函數的極值。將一元函數推廣到多元函數，用向量，梯度，Heese矩陣替換自變量，導數，二階導數，就可以把牛頓法用于多維無約束最優化問題。

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python實現

調用了numpy庫與matplotlib庫。使用同一個函數接口solve實現牛頓法與不動點迭代法，作為示例的方程為$arctan(x?7)?0.3x=0$。在以迭代次數作為結束條件的基礎上，這里增加了一種終止迭代的條件：兩次x的差值$|x_{i+1}?x_i|$小于某個預設的值$delta$。

由于牛頓法涉及導數運算，我們用數值微分公式$f^{\prime }(x)\approx \frac{f(x+h)?f(x?h)}{2h}$近似導數，由二階泰勒展開公式可推得其誤差為$O(h^2)$。

主要函數與大致流程：

• 輸入：在func函數中輸入需要為零的函數，即方程$f(x)=0$中的$f(x)$，在solve函數中輸入初始迭代點$x_0$，迭代次數上限iteration（默認100），終止迭代的誤差delta（默認1e-5）。
• 輸出：牛頓法與不動點迭代法各自的解，和兩張圖ax[0],ax[1]
• 函數func()：表示$f(x)$
• 函數derivate():對func使用數值微分求導
• 函數solve():繪制ax[0]的一組迭代點與ax[1]的一條折線
• 子圖ax[0]:函數圖像與迭代點
• 子圖ax[1]:$f(x)$隨迭代次數變化的曲線，若能有效求解，曲線將收斂與0

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 用來正常顯示中文標簽 plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False # 用來正常顯示負號def func(x):#需要為0的函數y=np.arctan(x-7)-0.3*x#自定義要求解的函數return y def derivate(x):#數值微分求導，h取1e-6return (func(x+1e-6)-func(x-1e-6))/2e-6 def solve(x,iteration=100,delta=1e-5,method='fixed_point'):#繪制迭代點和下降曲線doty=[func(x)]#保存迭代點的縱坐標，用來繪制折線圖，先記錄初始點n=1#記錄迭代次數for i in range(iteration):if(method=='fixed_point'):#不動點迭代xnext=func(x)+xcolors="blue"if(method=='newton'):#牛頓迭代xnext=x-func(x)/derivate(x)colors="orange"ax[0].scatter(xnext,func(xnext),marker='o',s=10,color=colors,alpha=1,zorder=3)doty.append(func(xnext))#添加迭代點的縱坐標n=n+1if(abs(x-xnext)<delta):#新增的終止條件breakx=xnextax[1].plot(np.arange(0,n),doty,'o-',markersize=3)#繪制函數值下降曲線return x;#畫布的基礎設置 X=np.linspace(-15,20,500) # X軸坐標數據 Y =func(X) # Y軸坐標數據 fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 4),dpi=120)#創建畫布 ax[0].tick_params(labelsize=12)#坐標字號 ax[1].tick_params(labelsize=12) ax[0].set_xlabel('$x$')#坐標名稱 ax[0].set_ylabel('$y$') ax[1].set_xlabel('迭代次數') ax[1].set_ylabel('函數值') ax[0].grid()#增加網格 ax[1].grid()ax[0].plot(X,0*X,color="black",linewidth=1,zorder=1)#作圖y=0 ax[0].plot(X,Y,label="$f(x)$",color="black",linewidth=1,zorder=2)#作出函數圖像#繪制兩種方法的迭代點與函數下降曲線 ax[0].scatter(8,func(8),color="red",s=10,label="初始點")#繪制初始點 ans1=solve(8,100,method='fixed_point') ans2=solve(8,100,method='newton') ax[0].legend(fontsize=8)#設置圖例 ax[1].legend(['不動點迭代法','牛頓法'],fontsize=8)print('不動點迭代法的結果：'+str(ans1)) print('牛頓法的結果：'+str(ans2))plt.show()

結果如下

總結

以上是生活随笔為你收集整理的解非线性方程的两种方法与python实现的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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