0.WARNINGS

? ? 本文章主要適用于計算方法代碼的實現參考，由于本人是python究極小白，為了實驗課速成了一些內容，因此會包含較多的暴力解法orz，如有代碼錯誤、可優化的地方歡迎各位大佬指出，感激不盡。

? ? 此外，本人制作本文的目的，主要是懶的將代碼保存在本地中，且博客方便個人的復習。

? ??非線性方程和優化主要包含的內容有：二分法；普通迭代法；牛頓迭代法；弦截法（單點&兩點）；

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1.

用二分法求方程 xlnx = 1 在[0.5 , 4] 的近似根，使函數值誤差不超過0.001，或有根區間長度不超過0.001。輸出保留3位小數。

import matha=0.5 b=4def f(x):return x*math.log(x)-1while 1:mid=a / 2 + b / 2if math.fabs(f(mid)) < 0.001 or math.fabs(a - b) < 0.001:ret = midbreakelse:if f(mid)*f(a)<=0:b=midelse:a=midprint("%.3f" % ret)

2.

用迭代法求方程 x= e –x在x=0.5附近的一個根，結果的精度要求0.00001。輸出保留4位小數

import mathdef f(x):return math.e**(-x)x=0.5while 1:temp=xx=f(x)if math.fabs(temp-x)<0.00001:breakprint("%.4f" % x)

3.

用迭代法求函數f(x)=x-lnx-2在區間（2，+∞）內的零點,誤差是0.00001，最高迭代次數是500次。輸出保留三位小數。

import mathdef f(x):return math.log(x)+2x=2 cnt=0 while cnt<=500:temp=xx=f(x)if math.fabs(temp-x)<0.00001:breakelse:cnt += 1print("%.3f" % x)

4.

用迭代法求方程3 x2- e x=0在[3,4]區間的一個根，結果的精度要求0.0001。輸出保留3位小數

import mathdef f(x):return math.log(3*x**2)x=3.5 while x>=3 and x<=4:temp=xx=f(x)if math.fabs(temp-x)<0.00001:breakprint("%.3f" % x)

5.

輸出x^3-x^2-1=0的有根區間，并在該有根區間內通過二分法找到其具有4位有效數字的根。

注意：有根區間的長度為0.1，輸出到小數點后1位。

例如：

輸出：

3.5(有根區間左端點)

3.6（有根區間右端點）

3.578（根）

（此非該題的正確解，只是示例）

import mathdef f(x):return pow(x,3)-pow(x,2)-1# 容易發現f(1)<0 and f(2)>0 i=1 while i<2:i+=0.1if f(i)>0:b=ia=i-0.1break print("%.1f" % a) # (有根區間左端點) print("%.1f" % b) # (有根區間右端點)while 1:mid=a/2+b/2if math.fabs(f(mid))<0.001 or math.fabs(a-b)<0.001:ret=midbreakelse:if f(mid)*f(a)<=0:b=midelse:a=mid print("%.3f" % ret) # （根）

6.

設函數f(x)=sinx-(x/2)2，牛頓法求函數的根。初始值是2.0，誤差是0.0001，最高迭代次數是500次。輸出保留三位小數。

import math# 設函數f(x)=sinx-(x/2)2，牛頓法求函數的根。 # 初始值是2.0，誤差是0.0001，最高迭代次數是500次。輸出保留三位小數。def f(x):return math.sin(x)-(x/2)**2def f1(x):return math.cos(x)-x/2def fai(x):return x-f(x)/f1(x)cnt=0 e=0.0001 myx=2.0 while cnt<500:temp=fai(myx)if math.fabs(temp-myx)<e:myx=tempbreakelse:myx=tempprint("%.3f" % myx)

7.

用牛頓迭代法求解x2=A的根，要求誤差小于0.00001

輸入：A

輸出：迭代序列值 迭代次數（從初值x0=A開始迭代）迭代值保留5位有效數字

例如：

輸入： 7

輸出： 4.00000 1

2.87500 2

2.65489 3

2.64577 4

2.64575 5

2.64575 6

import math# 用牛頓迭代法求解x2=A的根，要求誤差小于0.00001A=float(input())def fai(x,A):return x-(x**2-A)/(2*x)e=0.00001 myx=A cnt=int(0) while 1:temp=fai(myx,A)if math.fabs(temp-myx)<e:myx=tempcnt+=1breakelse:myx=tempcnt+=1print("%.5f %d" % (myx, cnt))print("%.5f %d" % (myx,cnt))

8.

對非零實數a,采用牛頓迭代法設計一個不用除法運算求解1/a的計算程序。誤差小于10-5 ? 初值x0=0.01

輸入：a

輸出：迭代序列 (保留5位小數) 迭代次數

例如：

輸入：7

輸出：

0.01930 1
0.03599 2
0.06292 3
0.09812 4
0.12885 5
0.14148 6
0.14284 7
0.14286 8
0.14286 9

import math import sys# 對非零實數a,采用牛頓迭代法設計一個不用除法運算求解1/a的計算程序。 # 誤差小于10-5 初值x0=0.01a=float(input())if a==0:print("a cannot be zero")sys.exit()def f(x,a):return 1/x-adef f1(x,a):return -1/(x**2)def fai(x,a):return x-f(x,a)/f1(x,a)e=0.00001 myx=0.01 cnt=int(0) # fx=1/x while 1:temp=fai(myx,a)if math.fabs(temp-myx)<e:myx=tempcnt+=1breakelse:myx=tempcnt+=1print("%.5f %d" % (myx,cnt))print("%.5f %d" % (myx,cnt))

9.

在重根數未知情況下，求解非線性方程f(x)=e^(2x)-1-2x-2x^2的誤差小于0.0001的根。

輸入迭代初始值，輸出每次的近似解和迭代次數（空格分隔），近似解保留小數點后5。

例如：

輸入：2

輸出：

-2.47756 1
-0.26450 2
-0.00996 3
-0.00002 4
0.00000 5

import math import sysdef f(x):return math.e**(2*x)-1-2*x-2*x**2def f1(x):return 2*math.e**(2*x)-2-4*xdef f2(x):return 4*math.e**(2*x)-4def fai(x):return x-f1(x)*f(x)/(f1(x)**2-f(x)*f2(x))e=0.0001 cnt=int(0) myx=float(input())while 1:temp=fai(myx)if math.fabs(temp-myx)<e:myx = tempcnt += 1breakelse:myx=tempcnt+=1print("%.5f %d" % (myx,cnt))print("%.5f %d" % (myx,cnt))

10.

單點弦截法求f(x)=x-sinx-1在[1，2]區間解，誤差為0.0001

? ? ? ? ? ?輸入格式：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a的值 ?b的值 ?（a為定點）

? ? ? ? ? ?輸出格式：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?根（保留4位小數）迭代次數

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 輸入：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 輸出：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1.9346 12

import mathinp = input().split(' ') a = float(inp[0]) b = float(inp[1])e=0.0001 cnt=int(1)def f(x):return x-math.sin(x)-1def fai(x,x0):return x-f(x)/(f(x)-f(x0))*(x-x0) # x0=awhile 1:if math.fabs(b-fai(b,a))<e:b+=ebreakelse:b=fai(b,a)cnt+=1print("%.4f %d" % (b,cnt))

11.

用雙點弦法求方程 xex-1=0 在x=0.5附近的根。初始兩點分別是0.3， 0.8， 最高迭代次數是500次，誤差是0.0001。輸出后值，并保留三位小數。

import math # 用雙點弦法求方程 xex-1=0 在x=0.5附近的根。初始兩點分別是0.3， 0.8， # 最高迭代次數是500次，誤差是0.0001。輸出后值，并保留三位小數。def f(x):return x*math.e**x-1def fai(xk,x):return xk-f(xk)/(f(xk)-f(x))*(xk-x) # xk=b,x=ae=0.0001 a=0.3 b=0.8 cnt=1 myx=0while cnt<=500:if math.fabs(fai(b,a)-myx)<e:myx = fai(b, a)# output the latter one?breakelse:myx=fai(b,a)a=bb=myxcnt+=1print("%.3f" % myx)

12.

對于f(x)=x3-3x-1用三種方法求解。輸入兩個初值，x0和x1,其中xo作為牛頓法的初值進行迭代求解，x0為單點弦截的不動點和x1作為初值迭代求解，x0和x1作為雙點弦截的不動點迭代求解，誤差小于0.00001。輸出迭代值和迭代次數，迭代值保留5位有小數。

例如：

輸入：

1.5 3

輸出：

2.06667 1 （牛頓迭代結果）
1.90088 2
1.87972 3
1.87939 4
1.87939 5
1.66667 1（單點弦截迭代結果）
1.96933 2
1.84938 3
1.89032 4
1.87552 5
1.88077 6
1.87889 7
1.87956 8
1.87932 9
1.87941 10
1.87938 11
1.87939 12
1.87938 13
1.66667 1（雙點弦截迭代結果）
1.76613 2
1.90130 3
1.87744 4
1.87935 5
1.87939 6
1.87939 7

import mathinp = input().split(' ') x0 = float(inp[0]) x1 = float(inp[1]) e=0.00001def f(x):return x**3-3*x-1def f1(x):return 3*x**2-3def fai(x):return x-f(x)/f1(x)def singlefai(x,x0):return x-f(x)/(f(x)-f(x0))*(x-x0) # x0=a# Newton newtoncnt=0 myx=x0 while 1:temp=fai(myx)if math.fabs(temp-myx)<e:myx=tempnewtoncnt+=1breakelse:myx=tempnewtoncnt += 1print("%.5f %d" % (myx,newtoncnt)) print("%.5f %d" % (myx,newtoncnt))# print("single") # single point singlecnt=0 b=x1 a=x0 while 1:if math.fabs(b-singlefai(b,a))<e:b+=esinglecnt += 1breakelse:b=singlefai(b,a)singlecnt+=1print("%.5f %d" % (b,singlecnt)) print("%.5f %d" % (b,singlecnt))def doublefai(xk,x):return xk-f(xk)/(f(xk)-f(x))*(xk-x) # xk=b,x=a# double point #print("double point") doublecnt=0 b=x1 a=x0 myx=2 # ? not sure while 1:if math.fabs(doublefai(b,a)-myx)<e:myx=doublefai(b,a)doublecnt += 1breakelse:myx=doublefai(b,a)a=bb=myxdoublecnt+=1print("%.5f %d" % (myx,doublecnt)) print("%.5f %d" % (myx,doublecnt))

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【计算方法】非线性方程和优化的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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