學習教程來自:GAMES201：高級物理引擎實戰指南2020
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筆記內容大多為課程內容的翻譯和轉述，外加一些自己的理解，若有不正確的地方懇請大家交流和指正

上一講難產了，不知道能不能補過來了，先學這一講吧hh

筆記

這節本質上是使用有限元的方法，最終得到一個線性系統用于求解。

1. FEM(Finite element method)

Galerkin methods（加遼金方法）的一種，FEM將continuous PDEs轉化為線性系統，用于后續求解
步驟：

將強型PDEs轉化為弱型PDEs

分步積分

散度定理進一步簡化偏微分方程并得到諾依曼（Neumann）邊界條件的顯式形式

離散化

求解線性系統

2D Poisson’s equation 2維泊松方程：拉普拉斯方程是泊松方程的簡化形式（來自知乎知乎用戶Csa5DY），所以簡單理解的話這里說的方程嚴格來說是拉普拉斯方程，但也算是泊松方程

Dirichlet boundary：狄利克雷邊界條件/第一類邊界條件，直接給定u在邊界上的值

Neumann boundary：諾依曼邊界條件/第二類邊界條件，為u在邊界上導數/梯度的值乘以法線方向

2. 離散化求解泊松方程

2.1 化簡

首先，用一個任意的二維標量函數w(x)，與強型式?·?u相乘，可以得到

另外，用w直接與?u相乘再求導，并展開（求導的展開）化簡（?·?u=0）得到

2邊同時積分可得下方右項，因此推導成立

散度定理（Divergence theorem）：一個體積內對x散度的面積分 = 邊界上的向量函數x和法向量點乘，繞邊界的線積分
因此可推

2.2 離散

用線性的基函數?模擬連續函數u(x)，如下為二維

三維情況下，圖片來源2D basis functions on a triangular mesh

帶入2.1結尾方程，同時離散化函數w和函數u

抽出對uj求和的部分

引入矩陣形式：
K：“stiffness” matrix 剛度矩陣
u: degree of freedoms/solution vector 自由度/解向量
f: load vector

其中有

2.3 邊界條件

將u替換為對應的邊界條件規定的關系

3. Linear elasticity FEM 線性彈性有限元

柯西動量方程：速度求拉格朗日導數（即加速度） = 1/密度 乘以 柯西stress tensor的散度 + 體積力/重力加速度

準靜態過程下：速度很小為0，重力為0

自由度 Degree of freedom：displacement u（新的位置減去舊的位置）

3.1 求解-FEM方法

Index notion：用 , 表示求導，αβγ對應xyz軸，則原方程變化為

其中求散度的部分乘以w

分步積分

約掉為0的部分

2邊積分，并使用散度定理

離散化w和u

帶入

求其中σ和u的關系（線性關系）

替換符號標記表示為

帶入得到線性系統Ku = f

4. Topology optimization 拓撲優化

是一種根據給定的負載情況、約束條件和性能指標，在給定的設計區域內對材料分布進行優化的數學方法，是結構優化的一種。（來自知乎拓撲優化（Topology Optimization）淺談）

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Games201学习笔记5：线性弹性有限元的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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