目錄

轉移矩陣求解套路

常見轉移矩陣1-斐波那契矩陣

承接套路

常見轉移矩陣2-類斐波那契數列

常見轉移矩陣3-冪常數

?前綴和

具體DP問題

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網上大部分講解都是停留在快速冪的模板和求解斐波那契數列上，但矩陣快速冪的應用遠不及此，且難點在于轉移矩陣的構造，而且會結合具體DP問題來構造轉移矩陣。

答案的求解包括三個矩陣 答案矩陣 = 轉移矩陣 * 初始矩陣

• 轉移矩陣求解套路

重點在于轉移矩陣的求得，套路是，找到轉移方程，由特殊到一般，考慮承接

• 常見轉移矩陣1-斐波那契矩陣

找到轉移方程

可知，要想求解f[n]，必須知道f[n-1],f[n-2]

考慮特殊情況f[n]

得初始矩陣

答案矩陣（f(n)處于（1,1）位置，故是轉移矩陣的第一行乘上初始矩陣的第一列）

轉移矩陣

得到特殊矩陣

考慮承接

考慮到我們即使我們本次求得了f(n)，但是我們不得不為下一次f(n+1)的求解做準備，因此我們需要承接上次求解的f(n-1),如何求解，很容易，f(n-1）在（2,1）位置，只需要轉移方程第二行乘上初始方程等于f(n-1)即可，

? ? ?

特殊到一般

對轉移方程進行快速冪，把初始方程變成普通dp時最初狀態，在斐波那契中的dp解法中，我們只需要先知道dp[0]=0,dp[1]=1即可。轉移方程的冪數是n-1

當然，也完全可以這樣，

承接套路

值得注意的是，這種承接方式在大多數題目中都適用，也就是將二行往后的每行i,(i,i-1)位置填上1，其余位置填上0即可。

?

常見轉移矩陣2-類斐波那契數列

主要是一些含有常數系數的

?

第一行換系數，第二行往后考慮承接即可

?

常見轉移矩陣3-冪常數

?

按照第一類時的套路，求fn，無非就是要知道fn-1，與n^2

可是我們發現，要求出(n+1)^2，靠n^2是遠遠不夠的

(n+1)^2=n^2+1+2*n? ，我們還應該知道n,和常數1

?n+1）^2被推了出來，還要考慮本次能供fn+1使用，因此還應該加上n+1,與常數1

?然后特殊化一般，利用快速冪求解即可。

其余更高次冪常數，利用二項式定理

n^3 = (n-1+1)^3 = (n-1)^3 + 3*(n-1)^2 +? ?3*(n-1)? + 1

n^4? =(n-1+1)^4 = (n-1)^4? + 4*(n-1)^3? + 6*(n-1)^2 + 4*(n-1)? + 1

.......以此類推

n^3為例?

?前綴和

T[0]=T[1]=T[2]=1;

T[N]=T[N-1]+T[N-2]+T[N-3]

求解? T[A]+T[A+1]+...+T[B]

也就是要構造前綴和sb,sa-1

可以先求出sn

sn=tn+sn-1

這里的tn的構造方式就是一個類菲波那切數列的構造方式

考慮承接即可

具體DP問題

P5343 【XR-1】分塊-矩陣快速冪加速DP_石油生產隊里的秦三的博客-CSDN博客

總結

以上是生活随笔為你收集整理的（详解）矩阵快速幂详解与常见转移矩阵的构造的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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