本節(jié)書摘來自華章出版社《數(shù)論概論（原書第4版）》一書中的第2章，作者 布朗大學(xué)，更多章節(jié)內(nèi)容可以訪問云棲社區(qū)“華章計算機”公眾號查看

第2章 勾 股 數(shù) 組

畢達哥拉斯定理（即勾股定理）是中學(xué)生“喜愛”的公式,它表明任一個直角三角形(如圖21所示)的兩條直角邊長的平方和等于斜邊長的平方．用公式表示就是

因為對數(shù)論(即自然數(shù)理論)感興趣,所以我們會問是否存在畢達哥拉斯三角形,它的所有邊長都是自然數(shù)．有許多這樣的三角形，最著名的例子是邊長為3,4,5的三角形（即中國古代數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的“勾廣三，股修四、徑隅五”）．下面是前幾個例子:

對這些畢達哥拉斯三元組（下稱勾股數(shù)組）的研究在畢達哥拉斯時代以前很久就開始了．包含這種三元組的巴比倫表格中甚至有很大的三元組,這表明巴比倫人可能擁有得到這種三元組的系統(tǒng)方法．更令人驚訝的是，

13巴比倫人似乎使用他們的勾股數(shù)組表作為原始的三角形表．古埃及人也使用勾股數(shù)組．例如,產(chǎn)生直角的粗略方法是取一根繩子,將其分成12等份,系成一個圈再繃成一個3-4-5三角的形狀,如圖22所示．這為標(biāo)記地界或建造金字塔等提供了一種廉價的直角工具．

巴比倫人與古埃及人擁有研究勾股數(shù)組的實際理由．這種實際理由仍存在嗎?對于這種特殊問題,答案是“未必”．然而研究勾股數(shù)組至少有一種好的理由,與值得研究倫布蘭特藝術(shù)和貝多芬音樂的理由相同．數(shù)之間相互影響方式的美正如油畫或交響樂創(chuàng)作的美．為欣賞這種美,人們不得不花費大量精力．但是這種努力是值得的．本書的目的是理解并欣賞真正優(yōu)美的數(shù)學(xué),學(xué)會如何發(fā)現(xiàn)與證明這種數(shù)學(xué),甚至做出我們自己原創(chuàng)性的貢獻．

你無疑會認(rèn)為這有點胡說，讓我們看些實例．第一個純樸的問題是，是否存在無窮多個勾股數(shù)組,即滿足方程a2+b2=c2的自然數(shù)三元組(a,b,c)．答案是“肯定的”．如果取勾股數(shù)組(a,b,c),用整數(shù)d乘它,則得到新的勾股數(shù)組(da,db,dc)．這是成立的，因為

顯然,這些新的勾股數(shù)組并不令人感興趣．所以我們轉(zhuǎn)而關(guān)注沒有（大于1）公因數(shù)的三元組．我們甚至給它們起個名字:14

本原勾股數(shù)組(簡寫為PPT)是一個三元組(a,b,c)，其中a,b,c沒有公因數(shù)
數(shù)d是a,b，c的公因數(shù)指的是a,b，c都是d的倍數(shù)．例如,3是30,42，105的公因數(shù),因為30=3?10,42=3?14，105=3?35,事實上3是它們的最大公因數(shù)．另一方面,數(shù)10,12，15沒有(除1外的)公因數(shù)．因為本章的目的是不拘泥于嚴(yán)謹(jǐn)體系來研究有趣而美妙的數(shù)論,所以,我們非正式地使用公因數(shù)與整除性并相信自己的直覺．在第5章我們將回到這些問題,更仔細(xì)地發(fā)展整除性理論．

,且滿足

回顧一下第1章提到的研究步驟．第一步是積累數(shù)據(jù)．使用計算機代入具體的a,b值并檢查a2+b2是否為平方數(shù)．下面是得到的一些本原勾股數(shù)組:

由這個短表容易得到一些結(jié)論．例如,似乎a與b奇偶性不同且c總是奇數(shù)．

不難證明這些猜想是正確的．首先,如果a與b都是偶數(shù),則c也是偶數(shù)．這意味著a,b,c有公因數(shù)2,所以三元組不是本原的．其次,假設(shè)a,b都是奇數(shù),那么c必是偶數(shù)．于是存在整數(shù)x,y,z使得

將其代入方程a2+b2=c2得

最后一個等式說的是一個奇數(shù)等于一個偶數(shù)，這是不可能的,所以a與b不能都是奇數(shù)．因為我們已證明它們不可能都是偶數(shù),也不可能都是奇數(shù),15故它們的奇偶性不同．

再由方程a2+b2=c2可得c是奇數(shù)．

考慮到a,b的對稱性,我們的問題化為求解方程
a2+b2=c2,a是奇數(shù), b是偶數(shù), a,b,c沒有公因數(shù)
的所有自然數(shù)解．我們使用的工具是因數(shù)分解和整除性．

我們的第一個觀察如下：如果(a,b,c)是本原勾股數(shù)組,則可進行因數(shù)分解
a2=c2-b2=(c-b)(c+b)．
下面是來自前面列表的例子,注意我們總是取a是奇數(shù)且b是偶數(shù):

似乎c-b與c+b本身總是平方數(shù)．我們用另外兩個例子驗證這個觀察:

怎樣證明c-b與c+b都是平方數(shù)呢?由前面的列表,另一個觀察是c-b與c+b似乎沒有公因數(shù)．我們可如下證明這個斷言：假設(shè)正整數(shù)d是c-b與c+b的公因數(shù)，即d整除c-b與c+b．則d也整除

因此d整除2b與2c．但是b與c沒有公因數(shù),這是因為我們假設(shè)了(a,b,c)是本原勾股數(shù)組．從而d必等于1或2．但d也整除(c-b)(c+b)=a2且a是奇數(shù),故d必等于1．換句話說,16整除c-b與c+b的數(shù)只能是1,所以c-b與c+b沒有公因數(shù)．

現(xiàn)在我們知道c-b與c+b沒有公因數(shù)而且由于(c-b)(c+b)=a2，所以c-b與c+b的積是平方數(shù)．這種情況只有在c-b與c+b自身都是平方數(shù)時才出現(xiàn)如果考慮將c-b與c+b分解成素數(shù)乘積，就會發(fā)現(xiàn)從直觀上看這是顯而易見的,因為c-b分解式中的素數(shù)與c+b分解式中的素數(shù)不同．然而,素數(shù)分解的存在性與唯一性并不顯然．在第7章我們將進一步討論．
．記

為什么說是“接近”完成了證明呢？我們已經(jīng)證明如果(a,b,c)是一個PPT，a為奇數(shù)，那么存在沒有公因數(shù)的奇數(shù)s>t≥1使得a,b,c可用上述公式表示．我們還需要驗證這些公式給出的總是一個PPT．先通過代數(shù)運算來說明公式給出的是勾股數(shù)組：

還需說明st,s2-t22和s2+t22沒有公因數(shù)．利用素數(shù)的重要性質(zhì)是最容易證明這個結(jié)論的，因此我們把證明推遲到第7章，17由讀者來完成（習(xí)題73）．

例如,如果取t=1,則得三元組s,s2-12,s2+12,它的b與c值僅相差1．這就解釋了上面列出的許多例子．下表列出了s≤9時所有可能的三元組．

關(guān)于記號的插曲

數(shù)學(xué)家創(chuàng)造了標(biāo)準(zhǔn)記號作為各種量的速記符號．我們應(yīng)盡量少用這種記號,但有些通用符號是非常有用的，值得花時間在此介紹一下．它們是

另外,數(shù)學(xué)家常常使用R表示實數(shù)集合,C表示復(fù)數(shù)集合,但是我們不需要這些．為什么選取這些字母呢?選取N,R,C無需解釋．表示整數(shù)集合的字母Z源自德文單詞“Zahlen”,其意思是數(shù)．類似地,Q源自德文單詞“Quotient”(與英文單詞相同，意為商)．我們也使用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)符號∈來表示“屬于某個集合”．例如,a∈N表示a為自然數(shù),x∈Q表示x為有理數(shù)．

習(xí)題

21(a)我們證明了在任何本原勾股數(shù)組(a,b,c)中,a或b是偶數(shù)．用相同的論證方法證明a或b必是3的倍數(shù)．18

(b)通過考察前面的本原勾股數(shù)組表,給出當(dāng)a,b或c是5的倍數(shù)時的猜測．試證明你的猜測是正確的．

22非零整數(shù)d整除m是指對某個整數(shù)k滿足m=dk．證明：若d整除m與n，則d也整除m-n與m+n．

23對下述每個問題,從搜集數(shù)據(jù)開始，進而分析數(shù)據(jù),形成猜想;最后設(shè)法證明你的猜測是正確的．(別擔(dān)心你不能解決問題的每一部分，有些部分相當(dāng)難．)

(a)哪些奇數(shù)a可出現(xiàn)在本原勾股數(shù)組(a,b,c)中?

(b)哪些偶數(shù)b可出現(xiàn)在本原勾股數(shù)組(a,b,c)中?

(c)哪些整數(shù)c可出現(xiàn)在本原勾股數(shù)組(a,b,c)中?

24下面是兩個本原勾股數(shù)組的例子：
332+562=652與162+632=652．
再至少找出一個新例子,使得兩個本原勾股數(shù)組有相同的c值．你能找出有相同c值的三個本原勾股數(shù)組嗎?你能找出多于三個且有相同c值的本原勾股數(shù)組嗎？

25在第1章中我們看到第n個三角數(shù)Tn由公式
Tn=1+2+3+…+n=n(n+1)2．
給出．前四個三角數(shù)是1,3,6,10．在我們的勾股數(shù)組（a,b,c）列表中有些b值是三角數(shù)的4倍，例如，(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41)．

(a)求出b=4T5，4T6，4T7的本原勾股數(shù)組(a,b,c)．

(b)你認(rèn)為對每個三角數(shù)Tn都存在b=4Tn的本原勾股數(shù)組(a,b,c)嗎?如果你確信這成立,則證明它,否則,找出使其不成立的三角數(shù)．

26如果觀察本章的本原勾股數(shù)組表,你會發(fā)現(xiàn)多個三元組（a,b,c）滿足c比a大2．例如,三元組(3,4,5),(15,8,17),(35,12,37),(63,16,65)都具有這種性質(zhì)．

(a)再求兩個本原勾股數(shù)組(a,b,c)使得c=a+2．

(b)求本原勾股數(shù)組(a,b,c)使得c=a+2且c>1000．

(c)試求滿足c=a+2的本原勾股數(shù)組(a,b,c)的通用公式．

27對本章列表中的每個本原勾股數(shù)組(a,b,c)，計算2c-2a．這些值呈現(xiàn)某種特殊形式嗎?試證明你的觀察對所有本原勾股數(shù)組成立．

28設(shè)m,n為相差2的正整數(shù)，將1m+1n寫成最簡分?jǐn)?shù)．例如，12+14=34,13+15=815．
19

（a）計算接下去的三個例子．

（b）考察 (a) 中分?jǐn)?shù)的分子和分母，與上一頁上的勾股數(shù)組表對照，提出關(guān)于這些分?jǐn)?shù)的一個猜想．

（c）證明你的猜想是正確的．

29(a)閱讀關(guān)于巴比倫數(shù)系的材料并寫出簡短說明,要包括1~10以及20,30,40,50的記號．

(b)了解被稱為Plimpton 322號的巴比倫泥石板并寫出簡要說明,要涉及它的形成年代．

（c）Plimpton 322號的第二和第三列給出了一些整數(shù)對(a,c)，它們滿足c2-a2是完全平方數(shù)．將其中的一些數(shù)對從巴比倫數(shù)轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)，并計算b的值使得(a,b,c)為勾股數(shù)組．20

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的《数论概论（原书第4版）》一第2章 勾 股 数 组的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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