最短路徑問題

• 最短路徑問題
• • 1、最短路徑問題介紹
  • 2、Dijkstra 算法思路
  • 3、Dijkstra算法示例演示
  • 4、Dijkstra算法的代碼實(shí)現(xiàn)（c++）
• 參考

最短路徑問題

1、最短路徑問題介紹

從圖中的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)到達(dá)另外一個(gè)頂點(diǎn)的所經(jīng)過的邊的權(quán)重和最小的一條路徑，稱為最短路徑

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• 1，給定一個(gè)帶權(quán)有向圖 G 與起始頂點(diǎn) v，求從 v 到 G 中其它頂點(diǎn)的最短路徑（每條邊上都存在有意義的權(quán)值）；
• 2，Dijkstra 算法核心是通過已知最短路徑尋找未知最短路徑；

2、Dijkstra 算法思路
算法特點(diǎn)：

迪科斯徹算法使用了廣度優(yōu)先搜索解決賦權(quán)有向圖或者無向圖的單源最短路徑問題，算法最終得到一個(gè)最短路徑樹。該算法常用于路由算法或者作為其他圖算法的一個(gè)子模塊。

Dijkstra 提出按路徑長度的遞增次序，逐步產(chǎn)生最短路徑：

• 1，首先求出長度最短的一條最短路徑，再參照它求出長度次短的一條最短路徑，依次類推，直到從起始頂點(diǎn) v 到其它各頂點(diǎn)的最短路徑全部求出為止；
• 2，核心是通過遞歸的方式將從起始頂點(diǎn)到其他各頂點(diǎn)的最短路徑全部求出來；

準(zhǔn)備工作：

1，輔助數(shù)組：Array<E> dist；1，dist[i] 表示當(dāng)前從起始頂點(diǎn) v0 到頂點(diǎn) vi 的路徑長度；2，初始設(shè)置：1，若從起始頂點(diǎn) v0 到頂點(diǎn) vi 有邊：dist[i] 為該邊上的權(quán)值；2，若從起始頂點(diǎn) v0 到頂點(diǎn) vi 無邊：dist[i] 為無窮大；一個(gè)保存已經(jīng)找到了最短路徑的頂點(diǎn)的集合：T

具體步驟為：

1、Dijkstra算法采用的是一種貪心的策略，聲明一個(gè)數(shù)組dis來保存源點(diǎn)到各個(gè)頂點(diǎn)的最短距離，和一個(gè)保存已經(jīng)找到了最短路徑的頂點(diǎn)的集合：T，
初始時(shí)，原點(diǎn)s 的路徑權(quán)重被賦為 0 （dis[s] = 0）。
若對于頂點(diǎn) s 存在能直接到達(dá)的邊（s,m），則把dis[m]設(shè)為w（s,m）,
同時(shí)把所有其他（s不能直接到達(dá)的）頂點(diǎn)的路徑長度設(shè)為無窮大。
初始時(shí)，集合T只有頂點(diǎn)s。
2、然后，從dis數(shù)組選擇最小值，則該值就是源點(diǎn)s到該值對應(yīng)的頂點(diǎn)的最短路徑，并且把該點(diǎn)加入到T中，OK，此時(shí)完成一個(gè)頂點(diǎn)，
3、然后，我們需要看看新加入的頂點(diǎn)是否可以到達(dá)其他頂點(diǎn)并且看看通過該頂點(diǎn)到達(dá)其他點(diǎn)的路徑長度是否比源點(diǎn)直接到達(dá)短，如果是，那么就替換這些頂點(diǎn)在dis中的值。
4、然后，又從dis中找出最小值，重復(fù)上述動(dòng)作，直到T中包含了圖的所有頂點(diǎn)。

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3、Dijkstra算法示例演示

下面我求下圖，從頂點(diǎn)v1到其他各個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑

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• 首先第一步，我們的頂點(diǎn)集T的初始化為：T={v1}，我們先聲明一個(gè)dis數(shù)組，該數(shù)組初始化的值為：??

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• 既然是求 v1頂點(diǎn)到其余各個(gè)頂點(diǎn)的最短路程，那就先找一個(gè)離 1 號頂點(diǎn)最近的頂點(diǎn)。
• 通過數(shù)組 dis 可知當(dāng)前離v1頂點(diǎn)最近是 v3頂點(diǎn)。
• 當(dāng)選擇了 2 號頂點(diǎn)后，dis[2]（下標(biāo)從0開始）的值就已經(jīng)從“估計(jì)值”變?yōu)榱恕按_定值”，即 v1頂點(diǎn)到 v3頂點(diǎn)的最短路程就是當(dāng)前dis[2]值。將V3加入到T中。

OK，既然確定了一個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑，下面我們就要根據(jù)這個(gè)新入的頂點(diǎn)V3會(huì)有出度，發(fā)現(xiàn)以v3 為弧尾的有： < v3,v4 >,那么我們看看路徑：v1–v3–v4的長度是否比v1–v4短，其實(shí)這個(gè)已經(jīng)是很明顯的了，因?yàn)閐is[3]代表的就是v1–v4的長度為無窮大，而v1–v3–v4的長度為：10+50=60，所以更新dis[3]的值,得到如下結(jié)果：

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因此 dis[3]要更新為 60。這個(gè)過程有個(gè)專業(yè)術(shù)語叫做“松弛”。即 v1頂點(diǎn)到 v4頂點(diǎn)的路程即 dis[3]，通過 < v3,v4> 這條邊松弛成功。這便是 Dijkstra 算法的主要思想：通過“邊”來松弛v1頂點(diǎn)到其余各個(gè)頂點(diǎn)的路程。

然后，我們又從除dis[2]和dis[0]外的其他值中尋找最小值，發(fā)現(xiàn)dis[4]的值最小，通過之前是解釋的原理，可以知道v1到v5的最短距離就是dis[4]的值，然后，我們把v5加入到集合T中，然后，考慮v5的出度是否會(huì)影響我們的數(shù)組dis的值，v5有兩條出度：< v5,v4>和 < v5,v6>,然后我們發(fā)現(xiàn)：v1–v5–v4的長度為：50，而dis[3]的值為60，所以我們要更新dis[3]的值.另外，v1-v5-v6的長度為：90，而dis[5]為100，所以我們需要更新dis[5]的值。更新后的dis數(shù)組如下圖：

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然后，繼續(xù)從dis中選擇未確定的頂點(diǎn)的值中選擇一個(gè)最小的值，發(fā)現(xiàn)dis[3]的值是最小的，所以把v4加入到集合T中，此時(shí)集合T={v1,v3,v5,v4},然后，考慮v4的出度是否會(huì)影響我們的數(shù)組dis的值，v4有一條出度：< v4,v6>,然后我們發(fā)現(xiàn)：v1–v5–v4–v6的長度為：60，而dis[5]的值為90，所以我們要更新dis[5]的值，更新后的dis數(shù)組如下圖：

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然后，我們使用同樣原理，分別確定了v6和v2的最短路徑，最后dis的數(shù)組的值如下：

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因此，從圖中，我們可以發(fā)現(xiàn)v1-v2的值為：∞，代表沒有路徑從v1到達(dá)v2。所以我們得到的最后的結(jié)果為：

起點(diǎn) 終點(diǎn) 最短路徑 長度 v1 v2 無 ∞ v3 {v1,v3} 10v4 {v1,v5,v4} 50v5 {v1,v5} 30v6 {v1，v5,v4,v6} 60

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4、Dijkstra算法的代碼實(shí)現(xiàn)（c++）

Dijkstra.h文件的代碼：

#pragma once //#pragma once是一個(gè)比較常用的C/C++雜注， //只要在頭文件的最開始加入這條雜注， //就能夠保證頭文件只被編譯一次。#include<iostream> #include<string> using namespace std;/* 本程序是使用Dijkstra算法實(shí)現(xiàn)求解最短路徑的問題 采用的鄰接矩陣來存儲(chǔ)圖 */ //記錄起點(diǎn)到每個(gè)頂點(diǎn)的最短路徑的信息 struct Dis {string path;int value;bool visit;Dis() {visit = false;value = 0;path = "";} };class Graph_DG { private:int vexnum; //圖的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)int edge; //圖的邊數(shù)int **arc; //鄰接矩陣Dis * dis; //記錄各個(gè)頂點(diǎn)最短路徑的信息 public://構(gòu)造函數(shù)Graph_DG(int vexnum, int edge);//析構(gòu)函數(shù)~Graph_DG();// 判斷我們每次輸入的的邊的信息是否合法//頂點(diǎn)從1開始編號bool check_edge_value(int start, int end, int weight);//創(chuàng)建圖void createGraph();//打印鄰接矩陣void print();//求最短路徑void Dijkstra(int begin);//打印最短路徑void print_path(int); };

Dijkstra.cpp文件的代碼：

#include"Dijkstra.h"//構(gòu)造函數(shù) Graph_DG::Graph_DG(int vexnum, int edge) {//初始化頂點(diǎn)數(shù)和邊數(shù)this->vexnum = vexnum;this->edge = edge;//為鄰接矩陣開辟空間和賦初值arc = new int*[this->vexnum];dis = new Dis[this->vexnum];for (int i = 0; i < this->vexnum; i++) {arc[i] = new int[this->vexnum];for (int k = 0; k < this->vexnum; k++) {//鄰接矩陣初始化為無窮大arc[i][k] = INT_MAX;}} } //析構(gòu)函數(shù) Graph_DG::~Graph_DG() {delete[] dis;for (int i = 0; i < this->vexnum; i++) {delete this->arc[i];}delete arc; }// 判斷我們每次輸入的的邊的信息是否合法 //頂點(diǎn)從1開始編號 bool Graph_DG::check_edge_value(int start, int end, int weight) {if (start<1 || end<1 || start>vexnum || end>vexnum || weight < 0) {return false;}return true; }void Graph_DG::createGraph() {cout << "請輸入每條邊的起點(diǎn)和終點(diǎn)（頂點(diǎn)編號從1開始）以及其權(quán)重" << endl;int start;int end;int weight;int count = 0;while (count != this->edge) {cin >> start >> end >> weight;//首先判斷邊的信息是否合法while (!this->check_edge_value(start, end, weight)) {cout << "輸入的邊的信息不合法，請重新輸入" << endl;cin >> start >> end >> weight;}//對鄰接矩陣對應(yīng)上的點(diǎn)賦值arc[start - 1][end - 1] = weight;//無向圖添加上這行代碼//arc[end - 1][start - 1] = weight;++count;} }void Graph_DG::print() {cout << "圖的鄰接矩陣為：" << endl;int count_row = 0; //打印行的標(biāo)簽int count_col = 0; //打印列的標(biāo)簽//開始打印while (count_row != this->vexnum) {count_col = 0;while (count_col != this->vexnum) {if (arc[count_row][count_col] == INT_MAX)cout << "∞" << " ";elsecout << arc[count_row][count_col] << " ";++count_col;}cout << endl;++count_row;} } void Graph_DG::Dijkstra(int begin){//首先初始化我們的dis數(shù)組int i;for (i = 0; i < this->vexnum; i++) {//設(shè)置當(dāng)前的路徑dis[i].path = "v" + to_string(begin) + "-->v" + to_string(i + 1);dis[i].value = arc[begin - 1][i];}//設(shè)置起點(diǎn)的到起點(diǎn)的路徑為0dis[begin - 1].value = 0;dis[begin - 1].visit = true;int count = 1;//計(jì)算剩余的頂點(diǎn)的最短路徑（剩余this->vexnum-1個(gè)頂點(diǎn)）while (count != this->vexnum) {//temp用于保存當(dāng)前dis數(shù)組中最小的那個(gè)下標(biāo)//min記錄的當(dāng)前的最小值int temp=0;int min = INT_MAX;for (i = 0; i < this->vexnum; i++) {if (!dis[i].visit && dis[i].value<min) {min = dis[i].value;temp = i;}}//cout << temp + 1 << " "<<min << endl;//把temp對應(yīng)的頂點(diǎn)加入到已經(jīng)找到的最短路徑的集合中dis[temp].visit = true;++count;for (i = 0; i < this->vexnum; i++) {//注意這里的條件arc[temp][i]!=INT_MAX必須加，不然會(huì)出現(xiàn)溢出，從而造成程序異常if (!dis[i].visit && arc[temp][i]!=INT_MAX && (dis[temp].value + arc[temp][i]) < dis[i].value) {//如果新得到的邊可以影響其他為訪問的頂點(diǎn)，那就就更新它的最短路徑和長度dis[i].value = dis[temp].value + arc[temp][i];dis[i].path = dis[temp].path + "-->v" + to_string(i + 1);}}}} void Graph_DG::print_path(int begin) {string str;str = "v" + to_string(begin);cout << "以"<<str<<"為起點(diǎn)的圖的最短路徑為：" << endl;for (int i = 0; i != this->vexnum; i++) {if(dis[i].value!=INT_MAX)cout << dis[i].path << "=" << dis[i].value << endl;else {cout << dis[i].path << "是無最短路徑的" << endl;}} }

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main.cpp文件的代碼：

#include"Dijkstra.h"//檢驗(yàn)輸入邊數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)的值是否有效，可以自己推算為啥： //頂點(diǎn)數(shù)和邊數(shù)的關(guān)系是：((Vexnum*(Vexnum - 1)) / 2) < edge bool check(int Vexnum, int edge) {if (Vexnum <= 0 || edge <= 0 || ((Vexnum*(Vexnum - 1)) / 2) < edge)return false;return true; } int main() {int vexnum; int edge;cout << "輸入圖的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)和邊的條數(shù)：" << endl;cin >> vexnum >> edge;while (!check(vexnum, edge)) {cout << "輸入的數(shù)值不合法，請重新輸入" << endl;cin >> vexnum >> edge;}Graph_DG graph(vexnum, edge);graph.createGraph();graph.print();graph.Dijkstra(1);graph.print_path(1);system("pause");return 0; }

輸入：

6 8 1 3 10 1 5 30 1 6 100 2 3 5 3 4 50 4 6 10 5 6 60 5 4 20

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的最短路径问题 --- Dijkstra算法详解的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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