n個骰子的點數

文章目錄

• n個骰子的點數
• • 一、題目描述
  • 二、分析
  • • 方法一：基于遞歸，效率低
    • 代碼一：
    • 方法二：基于循環，性能好
    • 代碼二：
    • 方法三：動規
    • 代碼三：

一、題目描述

把n個骰子仍在地上，所有的骰子朝上的一面的點數之和為s，輸入n，打印出s所有可能的值出現的概率。

二、分析

• 骰子一共有6個面，每個面都有一個點數，對應的是1-6的數字，所以 n個骰子的最小點數之和是n，最大點數之和是6n
• 根據排列組合的知識，n個骰子所有點數的排列一共有6^n
• 這道題求和為s的所有可能的值出現的概率，所以我們需要先統計每個點數出現的次數，然后把每個點數出現的次數再分別除以6^n次方，即可求每個點數出現的概率

方法一：基于遞歸，效率低

• 現在我們考慮如何統計每一個點數出現的次數。
• 想要求n個骰子的點數和，我們可以 把n個骰子分為兩堆，一堆只有一個骰子，另一堆有n - 1個骰子
• 只有一個骰子的那一堆可能出現點數為1～6的點數，我們就需要分別計算從1到6的每一種情況和另一堆剩下n - 1個骰子來計算點數和
• 接下來還是 把n - 1個骰子分為兩堆，一堆只有一個骰子，另一堆有n - 2個骰子
• 我們把上一輪單獨的骰子和這一輪單獨的骰子的點數相加，然后再和剩下的n - 2個骰子來計算點數和
• 到這里，我們就發現這是一個遞歸的問題：由小問題逐漸求得大問題；那么base case 就是當骰子個數為1的時候
• 那么我們可以定義一個長度為6n - n + 1（6n是所有骰子最大的和，- n是因為不可能出現比骰子個數n還小的總和，所以節省n個空間）的數組用來保存相應總和點數的出現的次數，和為s的點數出現的次數保存在數組的第s - n（從0號位置開始）個元素里

代碼一：

#include <iostream> #include <math.h> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std;//為了可拓展性，把骰子的最大面值定義一個變量 int g_maxValue = 6;//original：代表骰子的總個數 //index：代表當前是那個骰子 //curSum：當前總和 //pProbability：保存結果每個總和s出現的次數 void Probability(int original,int index,int curSum,vector<int>& pProbability) {//等于0，就代表把n個骰子不斷的分為【1，n - 1】、【1，n - 2】直到【2，1】，//即只剩下一個骰子，直接++即可，代表這是和為curSum - original一種if(index == 0){//curSum為總和//original代表骰子的個數，即把和為curSum的出現次數+1pProbability[curSum - original] += 1;return;}//枚舉一個骰子的面值情況，遞歸進行for(int i = 1;i <= g_maxValue;i++)Probability(original,index - 1,curSum + i,pProbability); }//n代表骰子的個數 void PrintProbability(int n) {if(n < 1)return;//最大的和int maxSum = n * g_maxValue;//保存結果vector<int> pProbability(n * 6 - n + 1,0);int curSum = 0;Probability(n,n,curSum,pProbability);//總的出現所有次數int total = pow((double)g_maxValue,n);for(int i = n;i <= maxSum;i++){double ratio = (double)pProbability[i - n] / total;cout<<i<<":"<<pProbability[i - n]<<" "<<ratio<<" "<<endl;} }int main() {int number;while(cin>>number){PrintProbability(number);} return 0; }

方法二：基于循環，性能好

• 換一種思路，我們用兩個數組來存儲骰子點數的每一個總數出現的次數
• 在本次循環中，第一個數組的第n個數字表示骰子和為n出現的次數
• 在下一次循化中，我們在上一次循環的基礎上加一個新的骰子，此時和為n的出現的次數就因該等于和為n - 1,n - 2,n - 3,n - 4,n - 5,n - 6的次數總和
• 所以我們把另一個數組的第n個數字設為前一個數組的第n - 1,n - 2,n - 3,n - 4,n - 5,n - 6之和。

代碼二：

#include <iostream> #include <math.h> using namespace std;int g_maxValue = 6; void PrintProbability(int n) {if(n < 1)return;//定義兩個數組int* pProbability[2];pProbability[0] = new int[g_maxValue * n + 1];pProbability[1] = new int[g_maxValue * n + 1];//初始化for(int i = 0;i <= g_maxValue * n;i++){pProbability[0][i]=0;pProbability[1][i]=0;}//用來控制兩個數組的交替使用int flag = 0;//第一個骰子只可能出現1，2，3，4，5，6的情況，所以在對應的位置值為1for(int i = 1;i <= g_maxValue;i++)pProbability[flag][i] = 1;//從第二個骰子開始判斷for(int k = 2;k <= n;k++){for(int i = 0;i < k;i++)pProbability[1 - flag][i] = 0;for(int i = k;i <= g_maxValue * k;i++){pProbability[1 - flag][i] = 0;for(int j = 1;j <= i && j <= g_maxValue;j++)pProbability[1 - flag][i] += pProbability[flag][i - j];}//交換兩個數組flag=1 - flag;}int total = pow((double)g_maxValue,n);for(int i = 0;i <= g_maxValue * n;i++){double ratio=(double)pProbability[flag][i] / total;cout<<i<<":"<<pProbability[flag][i]<<" "<<ratio<<" "<<endl;}delete[] pProbability[0];delete[] pProbability[1]; }int main() {int n;while(cin>>n){PrintProbability(n);}return 0; }

方法三：動規

上面兩種都是《劍指offer》里面的解法，都比較難懂,現在將一種動規的簡單些

• 首先該問題具備DP的兩個特征：最優子結構性質和子問題的重疊性。
• 具體的表現在：(1)n個骰子的點數依賴于n-1個骰子的點數，相當于在n-1個骰子點數的基礎上再進行投擲。(2)求父問題的同時，需要多次利用子問題。
• 由此定義狀態轉移方程為dp(𝑛,𝑘)表示𝑛個骰子點數和為𝑘時出現的次數
  dp(𝑛,𝑘)=dp(𝑛?1,𝑘?1)+dp(𝑛?1,𝑘?2)+dp(𝑛?1,𝑘?3)+dp(𝑛?1,𝑘?4)+dp(𝑛?1,𝑘?5)+dp(𝑛?1,𝑘?6）
• base case：第一輪的dp(1),dp(2),dp(3),dp(4),dp(5),dp(6)均等于1.
  𝑓(1,1)=𝑓(1,2)=𝑓(1,3)=𝑓(1,4)=𝑓(1,5)=𝑓(1,6)=1

代碼三：

#include<iostream> #define MAX_NUM 100 using namespace std;void FindSum(int n) {if(n <= 0)return;int sum = 0;int arr[n + 1][6 * n + 1];memset(arr,0,sizeof(arr));for(int i = 1; i <= 6; i++)//初始狀態：base casearr[1][i] = 1;for(int i = 2; i <= n; i++)//狀態轉移方程{for(int j = i; j <= 6 * i; j++)//注意j的范圍受i影響{arr[i][j] += (arr[i - 1][j - 1] + arr[i - 1][j - 2] + arr[i - 1][j - 3] + arr[i - 1][j - 4] + + arr[i - 1][j - 5] +arr[i - 1][j - 6]);}}//輸出結果for(int i = n; i <= 6 * n; i++){sum += arr[n][i];}for(int i = n; i <= 6 * n; i++){cout<<i<<"："<<arr[n][i]<<" "<<(arr[n][i] * 1.0 / sum)<<endl;} }int main() {int n;while(cin>>n){FindSum(n);}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的n个骰子的点数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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