力扣- -階乘函數后K個零

文章目錄

• 力扣- -階乘函數后K個零
• • 一、172. 階乘后的零
  • 二、分析
  • 三、代碼
  • 四、階乘函數后K個零
  • 五、分析
  • 六、完整代碼

一、172. 階乘后的零

二、分析

• 求n!中末尾0的個數：
• 0的來源 2 * 5 ,所以一對2和5即可產生一個0,所以0的個數即為min(階乘中5的個數和2的個數)
• 又因為是2的倍數的數一定比是5的倍數的數多 所以2的個數一定>=5的個數 所以只需要統計 5 的個數了

• 例如 5！ = 1 * 2 * 3 * 4 * 5

• 會產生3個2和1個5

• 一個2和一個5配對出現0 ，所以5!末尾只有一個零

• 而在 n = 25 時 可以產生5的有 5 10 15 20 25

• 即 n/5 = 5個 然而 25 = 5*5 所以少算了一個5

• n>=25時,故而需要補上它 因此所有可以產生25的也要加上

• 即為 n/5 + n/25 然而 125 = 5*25 所以又少算了一個5

• n>=125時,故而需要補上它。 因此所有可以產生125的也要加上

• 即為 n/5 + n/25 + n/125 然鵝 625 = 5*125 所以又少算了一個5

• 繼續補上…

• 所以最終為 n/5 + n/25 + n/125 + n/625 + …

• 即 n/5 + n/5/5 + n/5/5/5 + n/5/5/5/5 + ...

三、代碼

class Solution { public:int trailingZeroes(int n) {int five = 0;while(n >= 5){five += n / 5;n /= 5;}return five;} };

四、階乘函數后K個零

五、分析

• 現在是給你一個非負整數K，問你有多少個n，使得n!結果末尾有K個 0。

• 一個直觀地暴力解法就是窮舉唄，因為隨著n的增加，n!肯定是遞增的，trailingZeroes(n)肯定也是遞增的，偽碼邏輯如下：

class Solution { public:int preimageSizeFZF(int K) {int res = 0;for (int n = 0; n < +inf; n++) {if (trailingZeroes(n) < K) {continue;}if (trailingZeroes(n) > K) {break;}if (trailingZeroes(n) == K) {res++;}}return res;} };

• 這種做法效率比較低，對于這種具有單調性的函數，用 for 循環遍歷，可以用二分查找進行降維打擊

• 搜索有多少個n滿足trailingZeroes(n) == K，其實就是在問，滿足條件的n最小是多少，最大是多少，最大值和最小值一減，就可以算出來有多少個n滿足條件了。

• 那不就是二分查找「搜索左側邊界」和「搜索右側邊界」這兩個事兒嘛？

• 因為二分查找需要給一個搜索區間，也就是上界和下界，上述偽碼中n的下界顯然是 0，但上界是+inf，這個正無窮應該如何表示出來呢？

• 首先，數學上的正無窮肯定是無法編程表示出來的，我們一般的方法是用一個非常大的值，大到這個值一定不會被取到。

• 比如說 int 類型的最大值INT_MAX（2^31 - 1，大約 31 億），還不夠的話就 long類型的最大值LONG_MAX（2^63 - 1，這個值就大到離譜了）。

• 那么我怎么知道需要多大才能「一定不會被取到」呢？這就需要認真讀題，看看題目給的數據范圍有多大。

• 這道題目實際上給了限制，K是在[0,10^9 ]區間內的整數，也就是說，trailingZeroes(n)的結果最多可能達到10^9。

• 然后我們可以反推，當trailingZeroes(n)結果為10^9時，n為多少？這個不需要你精確計算出來，你只要找到一個數hi，使得trailingZeroes(hi)比10^9大，就可以把hi當做正無窮，作為搜索區間的上界。

• 剛才說了，trailingZeroes函數是單調函數，那我們就可以猜，先算一下trailingZeroes(INT_MAX)的結果，比10^{9小一些，那再用LONG_MAX算一下，遠超10}9了，所以LONG_MAX可以作為搜索的上界。

注意為了避免整型溢出的問題，trailingZeroes函數需要把所有數據類型改成 long：

// 邏輯不變，數據類型全部改成 long long trailingZeroes(long n) {long res = 0;for (long d = n; d / 5 > 0; d = d / 5) {res += d / 5;}return res; }

現在就明確了問題：

• n屬于區間[0,LONG_MAX]，我們要尋找滿足trailingZeroes(n) == K的左側邊界和右側邊界。

六、完整代碼

class Solution { public:/* 主函數 */int preimageSizeFZF(int K) {// 左邊界和右邊界之差 + 1 就是答案return right_bound(K) - left_bound(K) + 1;}/* 搜索 trailingZeroes(n) == K 的左側邊界 */long left_bound(int target) {long lo = 0, hi = LONG_MAX;while (lo < hi) {long mid = lo + (hi - lo) / 2;if (trailingZeroes(mid) < target) {lo = mid + 1;} else if (trailingZeroes(mid) > target) {hi = mid;} else {hi = mid;}}return lo;}/* 搜索 trailingZeroes(n) == K 的右側邊界 */long right_bound(int target) {long lo = 0, hi = LONG_MAX;while (lo < hi) {long mid = lo + (hi - lo) / 2;if (trailingZeroes(mid) < target) {lo = mid + 1;} else if (trailingZeroes(mid) > target) {hi = mid;} else {lo = mid + 1;}}return lo - 1;}long trailingZeroes(long n) {long res = 0;for (long d = n; d / 5 > 0; d = d / 5) {res += d / 5;}return res;} };

總結

以上是生活随笔為你收集整理的力扣- -阶乘函数后K个零的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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