前言

聽到博弈問題，第一個想到的想必是用SG函數做的博弈題，就比如Nim游戲

Nim游戲： 有N堆石子，每次選一堆石子，拿走若干石子（不能不取），先不能取的人輸

定義個SG函數
對于SG函數，大致就記錄兩個東西吧

定義SG函數g(x)=mex{ g(y) | y是x的后繼 }
游戲的和的SG函數值是它的所有子游戲的SG函數值的異或

SG函數能解決很多問題，但是它并不是萬能的。他只適用于兩個玩家家能進行的操作完全相同的情況（平等博弈）
今天上午做清華集訓2017day3T2，一開始以為是SG就可以做，后來因為T1、T3比較好打，所以就沒打T2，下午講題的時候聽講題的時候才知道這是不平等博弈題，所以不能使用SG函數
那么怎么做呢，聽高三同學講完了一遍，我仿佛還是在云里霧里，于是去找了2009的集訓隊論文方展鵬《淺談如何解決不平等博弈問題》 感覺這篇論文還是講的挺好的，但是呢，為了讓我更好的記憶，我就開始寫這一系列的學習記錄了

正文

不平等博弈問題（Partizan Games）有一個很好的解決方法是用 超實數（Surreal Number，高屆的同學戲稱其為super real number），具體的用處會在后面寫到
話不多說，對于不平等博弈問題，先定義狀態

一個及以下后繼狀態（從有理數上定義）

首先考慮每個狀態都只有一個及以下的后繼狀態的情況

• 如果沒有人能操作，那么狀態為0
• 如果當前狀態只有第一個玩家能進行操作，那么狀態為$x$（$x$為第一個玩家連續能走的步數-[后繼狀態中第二個玩家是否能走]）
• 如果當前狀態只有第二個玩家能進行操作，那么狀態為$?x$（$x$為第二個玩家連續能走的步數-[后繼狀態中第一個玩家是否能走]）

我們發現，這種定義的狀態對單局而言非常無腦
我們發現當狀態為$0$時，一定是先手必敗態
當狀態不等于$0$時，我們不能直接的根據狀態值判斷誰必勝（證明略）

多個后繼狀態（引入超實數輔助定義）

如果狀態的后繼不止一個怎么辦？
這是大部分題目里的情況，也是文章的重點
我們用超實數來概括所有的情況
定義超實數$\{X|Y\}$（本質上它是超實數，但是好理解一點可以將其當成運算），$X$是第一個玩家能執行操作的后繼狀態的集合，$Y$是第二個玩家能執行操作的后繼狀態的集合（可以是空集，這個之后會討論），結果為當前的狀態

若$X,Y$都是有限集，那么$\{L|R\}=\{max(L)|min(R)\}$
對于一個狀態$l|r$，如果$l<r$那么$\{l|r\}$的結果:
若$l、r$之間有整數，$\{l|r\}=x$（$l<x<r$且$x$是所有滿足的數中離$0$最近的整數）
若$l、r$之間無整數，$\{l|r\}=x/y$（$l<x/y<r$且$y=2^k(k\in {\mathbb{Z}}^{?})$且y是所有滿足條件的數中最小的數，x是在滿足前面的條件下的可取值中離$0$最近的整數

前面說到在$\{L|R\}$的運算中，$L$或$R$會有為空集的情況
空集可以用$\Phi$表示，不過一般也用"不寫任何東西"來表示，比如說$\{|\}=0$
事實上，空集可以當做無窮（如果是左邊是空集，那么可以視為是無窮小，如果右邊是空集，那么可以視為是無窮大）

總結

這里的內容已經是真·簡化版了
根據定義，$L|R$才是超實數，而定義這個結果，建立了博弈的實數定義與超實數的部分聯系
下圖為達利函數（即一個實數與超實數的對應關系）

這個東西本身就是超實數，為什么這樣你可以去論文里看超實數的定義
當然如果懶的看論文，那記住這些就好了，到后面的靈活運用才是最重要的
在下一篇文章中我會講述$\{l|r\}$中的特殊情況的結果，記錄（一）到這里就結束了
update by 2019.1.9：對文章進行了結構調整（開頭一段我進行了保留，算是對我一開始寫這篇博客時的感受的紀念吧）

總結

以上是生活随笔為你收集整理的不平等博弈问题学习记录（一）(超实数篇)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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