前言

近期對線段樹合并有了更深的了解，所以在這里寫一下一些自己的想法

適用問題

線段樹合并有一類經典的模板，現在對于一棵有n個葉子節點的樹（Tip:對于一棵$n$個葉子節點的樹，其節點數量小于等于$2n$，特殊的，我們把只有一個兒子一個父親的點都先刪除），每個葉子節點上都有一個值域為m的值在線段樹中，一個非葉子節點節點的線段樹由所有子節點的線段樹合并而成，求相關的信息

代碼

inline node*merge(node*x,node*y)//node為線段樹節點的結構體名稱 {if(x==NULL&&y==NULL)return NULL;//這一句在這里可能不重要，但當下面兩個if里有其它操作的時候就需要加if(x==NULL)return y;//NULL說明該指針為空if(y==NULL)return x;x->lson=merge(x->lson,y->lson);x->rson=merge(x->rson,y->rson);return x; }

復雜度

對于整棵樹，做完的復雜度為$O(nlogm+N)$
證明：
由于要遍歷整棵樹，所以有至少的O(N)的復雜度
對于一個葉子節點，其構樹的復雜度為$O(logm)$。容易發現，兩棵線段樹合并時，由于如果一棵線段樹為空就不做，只有兩顆線段樹都有值時往下，所以往下dfs的終止節點一定是兩棵線段樹節點的lca。對于一個節點，做完其子樹的線段樹合并的復雜度為$$\sum _{i為線段樹上兩個葉子節點的lca}depth[i]$$
（Tip：由于對于兩條路徑可能會有相交之處，所以這個復雜度是上界，實際上這部分是不滿的）
每有一個滿足條件的lca，說明有兩個值合并在一起了，合并次數為N-1次，而深度是$O(logm)$的，所以總復雜度為O(nlogm+N)
證畢

例題

[PKUWC2018][loj2537]Minimax

總結

這是一個很妙的模型，乍一眼復雜度不容易得出，而且比較好寫，值得記住

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线段树合并复杂度证明的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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