前言

機房里差不多都會Min_25篩了，我也趕緊補一波坑v_v
參考：
txc的Min_25篩學習筆記
yx的Min_25篩學習筆記
由于前面兩位dalao的標題都是筆記，所以我這里就是小記了，因為這里只記錄我的一些思考，并不全面
我也看了2018的論文集，那里的說明比較規(guī)范

什么是Min_25篩

我聽yx說只要是多項式都能用Min_25篩前綴和

實際上，存在一種實現(xiàn)難度更低，同時在較小的數據范圍下表現(xiàn)更好的方法，它和洲閣篩的思想類似，但理解起來更為容易
——朱震霆, 《一些特殊的數論函數求和問題》, 國家集訓隊2018論文集。

聽說能代替洲閣篩，所以還不會洲閣篩的我趕緊來學一波操作
在不考慮常數，只考慮復雜度的情況下，Min_25篩是比杜教篩快的，Min_25的復雜度是$\Theta (\frac{n^{\frac{3}{4}}}{logn})$的，而杜教篩的復雜度是$\Theta (n^{\frac{2}{3}})$，使用Mathematica計算可以發(fā)現(xiàn)，當$n$的值滿足$2.08977<n<3.00405?10^{22}$的時候，Min_25篩的復雜度是更優(yōu)的，下界…不用管，上界的話如果$n$到了這個級別按這兩個復雜度已經做不了了(別想著打表，跑出這樣的數據可能要跑100+天，再說空間復雜度也受不了)，所以Min_25篩的效率還是非常優(yōu)越的
Min_25篩空間復雜度$\Theta (\sqrt{n})$
再考慮適用范圍：
杜教篩限制重重，需要更麻煩的推式子，而看Min_25適用的范圍的介紹：

如果一個積性函數 f(i)在 i是質數時是一個關于 i的低次多項式，并且在質數的冪處的能快速求，那么大概可以用Min_25篩來求
——txc

相比之下，Min_25篩無疑是適用范圍較廣的
(yx:現(xiàn)在又找到杜教篩能做的而Min_25篩不能做的題嗎，如果有歡迎評論)

知識儲備

• 數論相關的基礎知識（如果不太了解可以參考我的博客數論學習）

正文

咕咕咕咕咕
咕咕咕咕咕
等博主學完Min_25篩后，發(fā)現(xiàn)別人已經寫的比較清楚了，我會在后面給出一些補充，在這些補充下，就能學完Min_25篩
博主覺得自己在寫一遍沒有什么意義

學習指南 （生存指南）

• step1 打開zzt的論文
  作為一名OIer你想必應該知道在哪里有論文，這里就不提供鏈接了（其實是因為實在不知道如何上傳，如果有需要可以聯(lián)系我，左邊那一欄有聯(lián)系方式）
  zzt的論述還是很嚴密的，在思路上能給你很大的啟發(fā)，認真看
• step2 打開txc的Min_25篩學習筆記
  這一篇博客的思路是和zzq一樣的，但是描述更加通俗，并且步驟更加簡潔（沒有冗長的式子）看完你應該能懂Min_25的更具體的原理與實現(xiàn)
  注意：txc的博客中的一些定義回合zzt的論文中的定義不同，請仔細看，并且，對于第二部分，zzt的做法對應txc的第二種實現(xiàn)方式（似乎第二種方式常數小，但受到一些局限）
• step3 看我寫的內容
  我是按這個步驟做下來的，由于我水平有限，所以看懂了式子后不知道怎么實現(xiàn)+不清楚復雜度，而看代碼是沒那么容易就清楚做法的，所以，在這里我會給一些Tip：
  Tip 1：
  在txc的博客中，他所說的“第一部分”的最后所說的記錄$\sqrt{n}$個值指的是記錄當前已經求好的$g(?,b?1)$，現(xiàn)在要求的是$g(?,b)$
  容易發(fā)現(xiàn)，我們這里的$b$的最大值是$2$至$\sqrt{n}$的質數數量，所以總的$b$的取值是$\Theta (\frac{\sqrt{n}}{ln\sqrt{n}})$的，這個值是可以接受的
  考慮每一次轉移，txc的博客里寫到了$a<prim{e}^2$的都是不用轉移的
  剩下的就從最后一個值向前枚舉更新，由于轉移只會用到前面的值，所以只用開一個數組就夠了，由于$a$的取值是$?\frac{n}{m}?$形式的，所以只用$\Theta (\sqrt{n})$種，空間是$\Theta (\sqrt{n})$的
  Tip 2：
  在寫代碼的時候有很多可以優(yōu)化常數的地方，這個時候就要看仔細了，只有獲取合適的寫法才能讓算法既好寫又跑的快，并且對于Min_25篩，要注意哪些地方要用long long哪些地方不用，這是很容易錯的（我自己就WA了好多發(fā)）
• step4 自己寫一遍Min_25篩，并做相關的習題
  這里采用一道例題，BZOJ3944 Sum
  這道題其實也是杜教篩模板題，這里用Min_25篩的板子也不錯
  貼出代碼

#include<cstdio> #include<cctype> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> namespace fast_IO {const int IN_LEN=10000000,OUT_LEN=10000000;char ibuf[IN_LEN],obuf[OUT_LEN],*ih=ibuf+IN_LEN,*oh=obuf,*lastin=ibuf+IN_LEN,*lastout=obuf+OUT_LEN-1;inline char getchar_(){return (ih==lastin)&&(lastin=(ih=ibuf)+fread(ibuf,1,IN_LEN,stdin),ih==lastin)?EOF:*ih++;}inline void putchar_(const char x){if(oh==lastout)fwrite(obuf,1,oh-obuf,stdout),oh=obuf;*oh++=x;}inline void flush(){fwrite(obuf,1,oh-obuf,stdout);} } using namespace fast_IO; #define getchar() getchar_() #define putchar(x) putchar_((x)) #define rg register typedef long long LL; template <typename T> inline T max(const T a,const T b){return a>b?a:b;} template <typename T> inline T min(const T a,const T b){return a<b?a:b;} template <typename T> inline void mind(T&a,const T b){a=a<b?a:b;} template <typename T> inline void maxd(T&a,const T b){a=a>b?a:b;} template <typename T> inline T abs(const T a){return a>0?a:-a;} template <typename T> inline void swap(T&a,T&b){T c=a;a=b;b=c;} template <typename T> inline T gcd(const T a,const T b){if(!b)return a;return gcd(b,a%b);} template <typename T> inline T lcm(const T a,const T b){return a/gcd(a,b)*b;} template <typename T> inline T square(const T x){return x*x;}; template <typename T> inline void read(T&x) {char cu=getchar();x=0;bool fla=0;while(!isdigit(cu)){if(cu=='-')fla=1;cu=getchar();}while(isdigit(cu))x=x*10+cu-'0',cu=getchar();if(fla)x=-x; } template <typename T> inline void printe(const T x) {if(x>=10)printe(x/10);putchar(x%10+'0'); } template <typename T> inline void print(const T x) {if(x<0)putchar('-'),printe(-x);else printe(x); } LL sum1[700001]; int T,n,part,tot,qz[700001],prime[700001],sq[700001],primesize,sum0[700001],id[700001]; inline int ck(const int x){return x<=part?x:tot-n/x+1;} int calc_mu(const int a,const int b) {if(a<prime[b])return 0;int ans=sum0[ck(a)]+b-1;for(rg int i=b;i<=primesize&&sq[i]<=a;i++)ans-=calc_mu(a/prime[i],i+1);return ans; } LL calc_phi(const int a,const int b) {if(a<prime[b])return 0;LL ans=sum1[ck(a)]-(qz[b-1]-(b-1));for(rg int i=b;i<=primesize&&sq[i]<=a;i++){ans+=(calc_phi(a/prime[i], i+1)+prime[i])*(prime[i]-1);for(rg int x=prime[i]*prime[i],mine=x-prime[i];(LL)x*prime[i]<=a;x*=prime[i],mine*=prime[i])ans+=(calc_phi(a/x, i+1)+prime[i])*mine;}return ans; } int main() {read(T);while(T--){read(n);if(!n){print(0),putchar(' '),print(0),putchar('\n');continue;}part=sqrt(n);tot=primesize=0;for(rg int i=1;i<=part;i++)id[++tot]=i,sum0[tot]=i-1,sum1[tot]=((((LL)i+1)*i)>>1)-1;id[++tot]=n/part;if(id[tot]!=part)sum0[tot]=id[tot]-1,sum1[tot]=((LL)(((LL)id[tot]+1)*id[tot])>>1)-1;else tot--;for(rg int i=part-1;i>=1;i--)id[++tot]=n/i,sum0[tot]=id[tot]-1,sum1[tot]=((((LL)id[tot]+1)*id[tot])>>1)-1;for(rg int i=2;i<=part;i++)if(sum0[i]!=sum0[i-1]){ const int limit=(LL)i*i;for(rg int j=tot;id[j]>=limit;j--){const int t=ck(id[j]/i);sum1[j]-=(sum1[t]-qz[primesize])*i;sum0[j]-=sum0[t]-primesize;}prime[++primesize]=i,sq[primesize]=i*i,qz[primesize]=qz[primesize-1]+i;}for(rg int i=1;i<=tot;i++)sum1[i]-=sum0[i],sum0[i]=-sum0[i];//sum1為phi的前綴和，sum0為mu的前綴和print(calc_phi(n,1)+1),putchar(' '),print(calc_mu(n,1)+1),putchar('\n');}return flush(),0; }

總結

Min_25篩本身代碼并沒有很長，我認為關鍵在于寫對（因為對于不同的函數寫法不一樣）。如果熟練掌握了Min_25篩，還是能簡化不少問題的

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Min_25筛学习Tip+链接的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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