前言

打完多項式板子后的第一題+清真的題意

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題目大意

求$n$個點的簡單(無重邊無自環)無向連通圖數目
輸出模$1004535809(479?2^{21}+1)$

數據范圍

$n\le 130000$

題解

暴力

我只推出了個暴力，感覺和多項式沒啥關系
如果沒有任何限制，那么答案為$2^{C_n^2}$
設$F_n$為答案，寫出遞推式（用所有的方案數減去不連通的方案數，枚舉最后一個點所處的聯通塊大小即可）
$$F_i=2^{C_i^2}?\sum _{j=1}^{i?1}{F}_j?C_{i?1}^{j?1}?2^{C_{i?j}^2}$$
遞推+快速冪
復雜度$\mathcal{O}(n^{2}logp)$
要是沒有代碼長度限制就可以打表過了（大霧）

正解

和暴力幾乎沒啥關系
考慮指數型生成函數！
我們來觀察指數型生成函數的性質，列出兩個指數型生成函數
$$A(x)=\sum _{i=0}^{\infty }{a}_i\frac{x^i}{i!}$$
$$B(x)=\sum _{i=0}^{\infty }{b}_i\frac{x^i}{i!}$$
我們觀察一下$A(x)?B(x)$
$$\begin{array}{rl}A(x)?B(X)& =(\sum _{i=0}^{\infty }{a}_i\frac{x^i}{i!})?(\sum _{i=0}^{\infty }{b}_i\frac{x^i}{i!})\\ & =\sum _{i=0}^{\infty }{a}_i\frac{x^i}{i!}\sum _{j=0}^{\infty }{b}_j\frac{x^j}{j!}\\ & =\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }{a}_i\frac{x^i}{i!}{b}_j\frac{x^j}{j!}\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }(\sum _{i=0}^{\infty }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})a_i{b}_{n?i})\frac{x^n}{n!}\end{array}$$
發現這個形式非常的奇妙
如果$a_i$代表在第一個集合中選$i$個的方案數，$b_i$代表在第二個集合中選$i$個的方案數
那么相乘后我們就可以知道總共選$i$個的方案數

考慮劃分
我們發現，如果我們按照劃分出一個大小為$i$的集合的方案數建一個指數型生成函數$F(x)$
那么我們就能計算出對于$n$個元素劃分成$m$個集合的方案數
對于$m=0$，答案的多項式為$1$（即只有$n=0$時方案數為$1$）
對于$m=1$，答案多項式為$\frac{F(x)}{1!}$
對于$m=2$，答案多項式為$\frac{F^2(x)}{2!}$
對于$m=3$，答案多項式為$\frac{F^3(x)}{3!}$
···
由于劃分先后的問題，所以要除以階乘
如果我們要求每個$n$的劃分總方案數
即$$\frac{F^0(x)}{0!}+\frac{F^1(x)}{1!}+\frac{F^{(}x)}{2!}???=\sum _{i=0}^{\infty }\frac{F^i(x)}{i!}$$
根據底數為$e$的泰勒展開式$$e^x=\sum _{i=0}^{\infty }\frac{x^i}{i!}$$
我們得到$$\sum _{i=0}^{\infty }\frac{F^i(x)}{i!}=e^{F(x)}$$

---

回到本題： 我們思考，在這一題中，所有聯通圖都是無限制圖的一個劃分
設$F(x)$為聯通圖方案數的多項式，$G(x)$為無限制圖方案數的多項式
容易發現$$e^{F(x)}=G(x)$$
所以$$F(x)=ln(G(x))$$
我們發現$G(x)$非常好求（暴力的那部分已經說過了）
然后直接多項式ln即可

代碼

拉了板子所以代碼很長

#include<cstdio> #include<cctype> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<vector> namespace fast_IO {const int IN_LEN=10000000,OUT_LEN=10000000;char ibuf[IN_LEN],obuf[OUT_LEN],*ih=ibuf+IN_LEN,*oh=obuf,*lastin=ibuf+IN_LEN,*lastout=obuf+OUT_LEN-1;inline char getchar_(){return (ih==lastin)&&(lastin=(ih=ibuf)+fread(ibuf,1,IN_LEN,stdin),ih==lastin)?EOF:*ih++;}inline void putchar_(const char x){if(oh==lastout)fwrite(obuf,1,oh-obuf,stdout),oh=obuf;*oh++=x;}inline void flush(){fwrite(obuf,1,oh-obuf,stdout);} } using namespace fast_IO; #define getchar() getchar_() #define putchar(x) putchar_((x)) typedef long long ll; #define rg register template <typename T> inline T max(const T a,const T b){return a>b?a:b;} template <typename T> inline T min(const T a,const T b){return a<b?a:b;} template <typename T> inline T mind(T&a,const T b){a=a<b?a:b;} template <typename T> inline T maxd(T&a,const T b){a=a>b?a:b;} template <typename T> inline T abs(const T a){return a>0?a:-a;} template <typename T> inline void swap(T&a,T&b){T c=a;a=b;b=c;} template <typename T> inline void swap(T*a,T*b){T c=a;a=b;b=c;} template <typename T> inline T gcd(const T a,const T b){if(!b)return a;return gcd(b,a%b);} template <typename T> inline T square(const T x){return x*x;}; template <typename T> inline void read(T&x) {char cu=getchar();x=0;bool fla=0;while(!isdigit(cu)){if(cu=='-')fla=1;cu=getchar();}while(isdigit(cu))x=x*10+cu-'0',cu=getchar();if(fla)x=-x; } template <typename T> void printe(const T x) {if(x>=10)printe(x/10);putchar(x%10+'0'); } template <typename T> inline void print(const T x) {if(x<0)putchar('-'),printe(-x);else printe(x); } const int maxn=2097152,mod=1004535809; inline int Md(const int x){return x>=mod?x-mod:x;} template<typename T> inline int pow(int x,T y) {rg int res=1;x%=mod;for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mod)if(y&1)res=(ll)res*x%mod;return res; } namespace Poly///namespace of Poly { int W_[maxn],FW_[maxn],ha[maxn],hb[maxn],Inv[maxn]; inline void init(const int x) {rg int tim=0,lenth=1;while(lenth<x)lenth<<=1,tim++;for(rg int i=1;i<lenth;i++){W_[i]=pow(3,(mod-1)/i/2);FW_[i]=pow(W_[i],mod-2);}Inv[0]=Inv[1]=1;for(rg int i=2;i<x;i++)Inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*Inv[mod%i]%mod; } int L; inline void NTT(int*A,const int fla)//prepare:init L {for(rg int i=0,j=0;i<L;i++){if(i>j)swap(A[i],A[j]);for(rg int k=L>>1;(j^=k)<k;k>>=1);}for(rg int i=1;i<L;i<<=1){const int w=fla==-1?FW_[i]:W_[i];for(rg int j=0,J=i<<1;j<L;j+=J){int K=1;for(rg int k=0;k<i;k++,K=(ll)K*w%mod){const int x=A[j+k],y=(ll)A[j+k+i]*K%mod;A[j+k]=Md(x+y),A[j+k+i]=Md(mod+x-y);}}} } inline int Quadratic_residue(const int a) {if(a==0)return 0;int b=(rand()<<14^rand())%mod;while(pow(b,(mod-1)>>1)!=mod-1)b=(rand()<<14^rand())%mod;int s=mod-1,t=0,x,inv=pow(a,mod-2),f=1;while(!(s&1))s>>=1,t++,f<<=1;t--,x=pow(a,(s+1)>>1),f>>=1;while(t){f>>=1;if(pow((int)((ll)inv*x%mod*x%mod),f)!=1)x=(ll)x*pow(b,s)%mod;t--,s<<=1;}return min(x,mod-x); } struct poly {std::vector<int>A;poly(){A.resize(0);}poly(const int x){A.resize(1),A[0]=x;}inline int&operator[](const int x){return A[x];}inline int operator[](const int x)const{return A[x];}inline void clear(){A.clear();}inline unsigned int size()const{return A.size();}inline void resize(const unsigned int x){A.resize(x);}void RE(const int x){A.resize(x);for(rg int i=0;i<x;i++)A[i]=0; }void readin(const int MAX){A.resize(MAX);for(rg int i=0;i<MAX;i++)read(A[i]);}void putout()const{for(rg unsigned int i=0;i<A.size();i++)print(A[i]),putchar(' ');}inline poly operator +(const poly b)const{poly RES;RES.resize(max(size(),b.size()));for(rg unsigned int i=0;i<RES.size();i++)RES[i]=Md((i<size()?A[i]:0)+(i<b.size()?b[i]:0));return RES;}inline poly operator -(const poly b)const{poly RES;RES.resize(max(size(),b.size()));for(rg unsigned int i=0;i<RES.size();i++)RES[i]=Md((i<size()?A[i]:0)+mod-(i<b.size()?b[i]:0));return RES;}inline poly operator *(const int b)const{poly RES=*this;for(rg unsigned int i=0;i<RES.size();i++)RES[i]=(ll)RES[i]*b%mod;return RES;}inline poly operator /(const int b)const{poly RES=(*this)*pow(b,mod-2);return RES;}inline poly operator *(const poly b)const{const int RES=A.size()+b.size()+1;L=1;while(L<RES)L<<=1;poly c;c.A.resize(RES);memset(ha,0,sizeof(int)*L);memset(hb,0,sizeof(int)*L);for(rg unsigned int i=0;i<A.size();i++)ha[i]=A[i];for(rg unsigned int i=0;i<b.A.size();i++)hb[i]=b.A[i];NTT(ha,1),NTT(hb,1);for(rg int i=0;i<L;i++)ha[i]=(ll)ha[i]*hb[i]%mod;NTT(ha,-1);const int inv=pow(L,mod-2);for(rg int i=0;i<RES;i++)c.A[i]=(ll)ha[i]*inv%mod;return c;}inline poly inv()const{poly C;if(A.size()==1){C=*this;C[0]=pow(C[0],mod-2);return C;}C.resize((A.size()+1)>>1);for(rg unsigned int i=0;i<C.size();i++)C[i]=A[i];C=C.inv();L=1;while(L<(int)size()*2-1)L<<=1;for(rg unsigned int i=0;i<A.size();i++)ha[i]=A[i];for(rg unsigned int i=0;i<C.size();i++)hb[i]=C[i];memset(ha+A.size(),0,sizeof(int)*(L-A.size()));memset(hb+C.size(),0,sizeof(int)*(L-C.size()));NTT(ha,1),NTT(hb,1);for(rg int i=0;i<L;i++)ha[i]=(ll)(2-(ll)hb[i]*ha[i]%mod+mod)*hb[i]%mod;NTT(ha,-1);const int inv=pow(L,mod-2);C.resize(size());for(rg unsigned int i=0;i<size();i++)C[i]=(ll)ha[i]*inv%mod;return C;} /* inline poly inv()const{poly C;if(A.size()==1){C=*this;C[0]=pow(C[0],mod-2);return C;}C.resize((A.size()+1)>>1);for(rg unsigned int i=0;i<C.size();i++)C[i]=A[i];C=C.inv();poly D=(poly)2-*this*C;D.resize(size());D=D*C;D.resize(size());return D;}*///大常數版本 inline void Reverse(const int n){A.resize(n);for(rg int i=0,j=n-1;i<j;i++,j--)swap(A[i],A[j]);}inline poly operator /(const poly B)const{poly a=*this,b=B;a.Reverse(size()),b.Reverse(B.size());b.resize(size()-B.size()+1);b=b.inv();b=b*a;b.Reverse(size()-B.size()+1);return b;}inline poly operator %(const poly B)const{poly C=(*this)-(*this)/B*B;C.resize(B.size()-1);return C;}inline poly diff()const{poly C;C.resize(size()-1);for(rg unsigned int i=1;i<size();i++)C[i-1]=(ll)A[i]*i%mod;return C;}inline poly inte()const{poly C;C.resize(size()+1);for(rg unsigned int i=0;i<size();i++)C[i+1]=(ll)A[i]*Inv[i+1]%mod;C[0]=0;return C;}inline poly ln()const{poly C=(diff()*inv()).inte();C.resize(size());return C;}inline poly exp()const{poly C;if(size()==1){C=*this;C[0]=1;return C;}C.resize((size()+1)>>1);for(rg unsigned int i=0;i<C.size();i++)C[i]=A[i];C=C.exp();C.resize(size());poly D=(poly)1-C.ln()+*this;D=D*C;D.resize(size());return D;}inline poly sqrt()const{poly C;if(size()==1){C=*this;C[0]=Quadratic_residue(C[0]);return C;}C.resize((size()+1)>>1);for(rg unsigned int i=0;i<C.size();i++)C[i]=A[i];C=C.sqrt();C.resize(size());C=(C+*this*C.inv())*(int)499122177;C.resize(size());return C;}inline poly operator >>(const unsigned int x)const{poly C;if(size()<x){C.resize(0);return C;}C.resize(size()-x);for(rg unsigned int i=0;i<C.size();i++)C[i]=A[i+x];return C;}inline poly operator <<(const unsigned int x)const{poly C;C.RE(size()+x);for(rg unsigned int i=0;i<size();i++)C[i+x]=A[i];return C;}inline poly Pow(const unsigned int x)const{for(rg unsigned int i=0;i<size();i++)if(A[i]){poly C=((((*this/A[i])>>i).ln()*x).exp()*pow(A[i],x))<<(min(i*x,size()));C.resize(size());return C;}return *this;} }; }///namespace of Poly Poly::poly a; int n; int fac[maxn+1],inv[maxn+1]; int main() {fac[0]=1;for(rg int i=1;i<=maxn;i++)fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;inv[maxn]=pow(fac[maxn],mod-2);for(rg int i=maxn;i>=1;i--)inv[i-1]=(ll)inv[i]*i%mod;Poly::init(maxn);///namespace of Polyread(n);a.RE(n+1);for(rg int i=0;i<=n;i++)a[i]=(ll)pow(2,((ll)i*(i-1))>>1)*inv[i]%mod;a=a.ln();print((ll)a[n]*fac[n]%mod);return flush(),0; }

總結

好推+好用的指數型生成函數！

總結

以上是生活随笔為你收集整理的指数型生成函数[bzoj3456]城市规划的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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