组合数取模
組合數取模在ACM競賽中是一個很重要的問題，很多選手因為數據太大而束手無策，今天就來詳細講解它。
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組合數取模就是求的值，當然根據，和的取值范圍不同，采取的方法也不一樣。
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接下來，我們來學習一些常見的取值情況
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（1）和
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???? 這個問題比較簡單，組合數的計算可以靠楊輝三角，那么由于和的范圍小，直接兩層循環即可。
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（2）和，并且是素數
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???? 這個問題有個叫做Lucas的定理，定理描述是，如果
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????
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?????那么得到
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????
???
???? 這樣然后分別求，采用逆元計算即可。
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題目：http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=2020
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題意：求，其中，并且是素數。
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代碼：
#include <iostream> #include <string.h> #include <stdio.h>using namespace std; typedef long long LL;LL n,m,p;LL quick_mod(LL a, LL b) {LL ans = 1;a %= p;while(b){if(b & 1){ans = ans * a % p;b--;}b >>= 1;a = a * a % p;}return ans; }LL C(LL n, LL m) {if(m > n) return 0;LL ans = 1;for(int i=1; i<=m; i++){LL a = (n + i - m) % p;LL b = i % p;ans = ans * (a * quick_mod(b, p-2) % p) % p;}return ans; }LL Lucas(LL n, LL m) {if(m == 0) return 1;return C(n % p, m % p) * Lucas(n / p, m / p) % p; }int main() {int T;scanf("%d", &T);while(T--){scanf("%I64d%I64d%I64d", &n, &m, &p);printf("%I64d\n", Lucas(n,m));}return 0; }
由于上題的比較大，所以組合數只能一個一個計算，如果的范圍小點，那么就可以進行階乘預處理計算了。
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（3）和，并且可能為合數
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????這樣的話先采取暴力分解，然后快速冪即可。
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題目：http://acm.nefu.edu.cn/JudgeOnline/problemshow.php?problem_id=628
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代碼：
#include <iostream> #include <string.h> #include <stdio.h>using namespace std; typedef long long LL; const int N = 200005;bool prime[N]; int p[N]; int cnt;void isprime() {cnt = 0;memset(prime,true,sizeof(prime));for(int i=2; i<N; i++){if(prime[i]){p[cnt++] = i;for(int j=i+i; j<N; j+=i)prime[j] = false;}} }LL quick_mod(LL a,LL b,LL m) {LL ans = 1;a %= m;while(b){if(b & 1){ans = ans * a % m;b--;}b >>= 1;a = a * a % m;}return ans; }LL Work(LL n,LL p) {LL ans = 0;while(n){ans += n / p;n /= p;}return ans; }LL Solve(LL n,LL m,LL P) {LL ans = 1;for(int i=0; i<cnt && p[i]<=n; i++){LL x = Work(n, p[i]);LL y = Work(n - m, p[i]);LL z = Work(m, p[i]);x -= (y + z);ans *= quick_mod(p[i],x,P);ans %= P;}return ans; }int main() {int T;isprime();cin>>T;while(T--){LL n,m,P;cin>>n>>m>>P;n += m - 2;m--;cout<<Solve(n,m,P)<<endl;}return 0; }
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接下來看一些關于組合數取模的典型題目。
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題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3944
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分析：組合數取模的典型題目，用Lucas定理，注意要階乘預處理，否則會TLE的。
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題目：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=4536
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題意：給一個集合，一共個元素，從中選取個元素，選出的元素中沒有相鄰的元素的選法一共有多少種？
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分析：典型的隔板法，最終答案就是。然后用Lucas定理處理即可。
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題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4373
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題意：個for循環嵌套，有兩種形式，第一類從1開始到，第二類從上一層循環當前數開始到，第一層一定
?????是第一種類型，求總的循環的次數對364875103取余的結果。
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分析：首先可以看出，每一個第一類循環都是一個新的開始，與前面的狀態無關，所以可以把個嵌套分為幾個不
?????同的部分，每一個部分由第一類循環開始，最終結果相乘即可。剩下的就是第二類循環的問題，假設一個
???? 層循環，最大到，分析一下得到如下結果
????
?????（1）只有一層，則循環次數為
?
?????（2）只有前兩層，則循環次數為
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?????????
?
?????（3）只有前三層，則循環次數為
?
????????
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??????由此得到結論：第的循環次數為
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代碼：
#include <iostream> #include <string.h> #include <stdio.h>using namespace std; typedef long long LL;const int N = 25; const int MOD1 = 97; const int MOD2 = 3761599; const int MOD = MOD1 * MOD2;int m,n,k; int a[N]; LL fac1[MOD1+10]; LL fac2[MOD2+10]; LL inv1,inv2;LL quick_mod(LL a,LL b,LL m) {LL ans = 1;a %= m;while(b){if(b & 1){ans = ans * a % m;b--;}b >>= 1;a = a * a % m;}return ans; }LL C(LL n,LL m,LL p,LL fac[]) {if(n < m) return 0;return fac[n] * quick_mod(fac[m] * fac[n-m], p - 2, p) % p; }LL Lucas(LL n,LL m,LL p,LL fac[]) {if(m == 0) return 1;return C(n % p, m % p, p, fac) * Lucas(n / p, m / p, p, fac); }void Init() {fac1[0] = fac2[0] = 1;for(int i=1; i<MOD1; i++)fac1[i] = (fac1[i-1] * i) % MOD1;for(int i=1; i<MOD2; i++)fac2[i] = (fac2[i-1] * i) % MOD2;inv1 = MOD2 * quick_mod(MOD2, MOD1-2, MOD1);inv2 = MOD1 * quick_mod(MOD1, MOD2-2, MOD2); }int main() {Init();int T, tt = 1;scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);for(int i=0; i<k; i++)scanf("%d",&a[i]);a[k] = m;LL ans = 1;for(int i=0; i<k; i++){LL m1 = Lucas(a[i+1] - a[i] + n - 1, a[i+1] - a[i], MOD1, fac1);LL m2 = Lucas(a[i+1] - a[i] + n - 1, a[i+1] - a[i], MOD2, fac2);LL mm = (m1 * inv1 + m2 * inv2) % MOD;ans = ans * mm % MOD;}printf("Case #%d: ",tt++);cout<<ans<<endl;}return 0; }
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題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4349
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題意：中有多少個奇數，其中。
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分析：其實組合數判斷奇偶性有一個優美的結論
??????????
??????????? 如果，那么為奇數，否則為偶數
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????????????當然本題要判斷的組合數很多，所以不能用上述結論，只能另辟蹊徑。由于是判斷奇偶性，那么就是判斷
?????是否為1，利用Lucas定理，先把和化為二進制，這樣它們都是01序列了。我們又知道
?????。這樣中為0的地方對應的中的位置只有一種可能，那就是0。
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????? 這樣我們可以不用管中為0的地方，只考慮中為1的位置，可以看出，中為1的位置對應的中為0
????? 或1，其結果都是1，這樣答案就是：1<<(二進制表示中1的個數)
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代碼：
#include <iostream> #include <string.h> #include <stdio.h>using namespace std;int main() {int n;while(scanf("%d",&n)!=EOF){int cnt = 0;while (n){if (n & 1) cnt++;n >>= 1;}printf("%d\n",1<<cnt);}return 0; }?
題目：http://61.187.179.132/JudgeOnline/problem.php?id=1951
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題意：給定兩個正整數和，其中，求下面表達式的值
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????
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分析：由于999911659是素數，用費馬小定理降冪得到
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?????
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???? 現在關鍵是求
????
????
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???? 那么我們枚舉分別計算，但是模的是合數，所以對999911658進行分解得到
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???? ，那么分別求，即
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?????
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?????然后進一步得到同余方程組為
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??????
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?????再通過中國剩余定理（CRT）可以求得最終答案。
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代碼：
#include <iostream> #include <string.h> #include <stdio.h>using namespace std; typedef long long LL;const int P = 999911659;LL a[5] = {0, 0, 0, 0}; LL m[5] = {2, 3, 4679, 35617}; LL fac[5][36010]; LL N, G;void Init() {for(int i=0; i<4; i++){fac[i][0] = 1;for(int j=1; j<36010; j++)fac[i][j] = fac[i][j-1] * j % m[i];} }LL quick_mod(LL a,LL b,LL m) {LL ans = 1;a %= m;while(b){if(b & 1){ans = ans * a % m;b--;}b >>= 1;a = a * a % m;}return ans; }LL C(LL n,LL k,int cur) {LL p = m[cur];if(k > n) return 0;return fac[cur][n] * quick_mod(fac[cur][k] * fac[cur][n-k], p - 2, p) % p; }LL Lucas(LL n,LL k,int cur) {LL p = m[cur];if(k == 0) return 1;return C(n % p, k % p, cur) * Lucas(n / p, k / p, cur) % p; }void extend_Euclid(LL a, LL b, LL &x, LL &y) {if(b == 0){x = 1;y = 0;return;}extend_Euclid(b, a % b,x, y);LL tmp = x;x = y;y = tmp - a / b * y; }LL RemindChina(LL a[],LL m[],int k) {LL M = 1;LL ans = 0;for(int i=0; i<k; i++)M *= m[i];for(int i=0; i<k; i++){LL x, y;LL Mi = M / m[i];extend_Euclid(Mi, m[i], x, y);ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;}if(ans < 0)ans += M;return ans; }int main() {Init();while(cin>>N>>G){a[0] = a[1] = 0;a[2] = a[3] = 0;if(G == P){cout<<"0"<<endl;continue;}G %= P;for(int i=1; i*i <= N; i++){if(N % i == 0){LL x = i;a[0] = (a[0] + Lucas(N, x, 0)) % m[0];a[1] = (a[1] + Lucas(N, x, 1)) % m[1];a[2] = (a[2] + Lucas(N, x, 2)) % m[2];a[3] = (a[3] + Lucas(N, x, 3)) % m[3];x = N / i;if(i * i != N){a[0] = (a[0] + Lucas(N, x, 0)) % m[0];a[1] = (a[1] + Lucas(N, x, 1)) % m[1];a[2] = (a[2] + Lucas(N, x, 2)) % m[2];a[3] = (a[3] + Lucas(N, x, 3)) % m[3];}}}LL ans = quick_mod(G, RemindChina(a, m, 4), P);cout<<ans<<endl;}return 0; }
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題目：已知有如下表達式
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????
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????? 給定和，求。
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分析：如果直接二項式展開，這樣會很麻煩，而且不容易求出，本題有技巧。做如下變換
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?????
??
?????所以問題變為求的值。?????
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總結
