我們知道丟番圖方程,其中d是非完全平方正整數，那么此方程就是Pell方程，到目前為止對于它的最優求解方

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法就是經典的連分數問題。可以看這里：http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8529686

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那么對于上述的Pell方程來說，它一定是有解的，而現在我們研究另一個丟番圖方程：

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，其中同樣要求d是非完全平方正整數，對于這個方程，它就不一定有解了。

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那么我們來研究如下一個結論：

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設，當并且為素數，那么一定有正整數解。

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下面我們就來簡略證明一下這個結論

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證明：我們知道對于方程一定有正整數解，當然本文討論中的所有都是非完全平方正整數。

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假設是方程的最小正整數解，顯然一奇一偶，假設，，

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那么就得到矛盾，所以只能是，

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那么這樣可以知道都是整數，并且都相差1，所以必有一奇一偶，所以

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進一步有：，那么得到：

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(還有一種情況不符合舍去)。那么就是方程的最小正整數解。我們可以發現這樣的做法就是根據

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方程的最小正整數解來求方程的最小正整數解，最后開個方就行了。

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其實這種方法看起來很麻煩，我們作如下簡化：

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因為求方程的解是用連分數，那么我們也可以直接對方程用連分數求解。這里的還是滿足

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那么我們有如下結論：

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如果，并且，那么方程的解可以這樣求：

先把寫成連分數的形式，那么我們只需要保存它的第一個循環節的部分，然后把它回帶成的形式，那么這里的p和q就

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是方程的最小正整數解。

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其實直接套這里的模版即可：http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/9531793

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那么，接下我們來看一個同余方程：，其中要求為奇素數，且，求x的最小正整數解。

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結論：先求丟番圖方程：的最小正整數解的值。然后得到，那么此時方程小于p的正整數解就分

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別是和，這兩個數中的較小的那個就是上述方程的最小正整數解。

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為什么是這樣呢？我只作一點簡單的描述，這個首先得從二次剩余說起。

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二次剩余當中最重要的一些定理如下：

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設m是正整數，若同余式，且，有解，那么a叫做模m的二次剩余，否則a叫做模m的二次非剩余。

歐拉判別條件給出了模為奇素數p有解判斷條件：

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(1)a是模奇素數p的二次剩余的充要條件是：

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(2)a是模奇素數p的二次非剩余的充要條件是：

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并且有：當a是模奇素數p的平方剩余時，同余式恰有兩個小于p的正整數解。并且這兩個解之和為p。

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所以對于同余方程來說，注意，很明顯-1一定是p的二次剩余，所以它有兩個解。?

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然后上面解法的正確性我給出了打表證明：http://paste.ubuntu.com/5998778/

可以從結果中看出，第一個數x用連分數和暴力求解都是一樣的，解在范圍內恰好有兩個，而第二個數沒有用，因

為這兩個解都是通過x得來的，上面的講解都說了。

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上面介紹的是連分數求方程的最小正整數解，其中且p是素數。

細心的讀者會發現，當p很大時還是行不通，因為一是循環節太大，而是可能在求循環節時有數字超過整數范圍的。

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那么下面我將介紹我認為是解決這個問題的最好方法。把下面的n換為-1就是上面的方程了。

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http://algo.ftiasch.com/tag/number-theory/

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注意這里是在二次域上做計算的，w不是實數。

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的关于丢番图方程x^2-dy^2=-1的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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