今天來講的是在歐拉工程上的一道遞推題，題目描述如下鏈接。

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題目：https://projecteuler.net/problem=492

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當然，這道題在51Nod上有一個比較通用的版本，鏈接如下

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題目：http://www.51nod.com/contest/problem.html#!problemId=1361

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題意：給定，并且有，給定兩個數和，求的值。其中

???? 滿足和，并且為素數。

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分析：首先對原遞推式進行變換得到

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?????那么令，繼而有，而。到了這里，假設

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???? 那么我們帶入繼續遞推會發現一個神奇的結論

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???? 其中假設取其中一個解如下

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???? 那么得到如下

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?????好了，到了這里，最直觀的做法就是根據上述公式求出，然后會帶回去求出即可。

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???? 如果想用二次剩余的方法來做，因為可能無解，所以不能用這種方法做。看成更一般

???? 形式的求解，比如下面

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???? 那么回憶之前的一篇文章：http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8994222，重

???? 點是HDU4565題，這是明顯可以構造矩陣的，具體如何構造不再贅述。然后先得到遞推式如下

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???? 所以最終得到如下

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???? 可以看到矩陣的指數很大，所以需要降小，而這是一個經典的矩陣找尋環節問題。之前有篇文章，如下

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???? 鏈接：http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/25616461

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???? 當時那道題由于要求最小的循環節，所以要求比較精確，必須枚舉因子。但是對于本題不同，我們只要能

???? 求出一個合理的循環節即可，不要求最小的，因為不影響最終結果。

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???? 參照當時的結論，由于117不是素數，所以只有兩種情況。

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??????（1）如果117是的二次剩余時，最小循環節是的因子，我們可以取作為循環節。

????? （2）如果117是的二次非剩余時，最小循環節是的因子，可以取作

??????????為循環節。

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???? 到了這里大部分問題都已經解決。實際上當117是的二次非剩余時，循環節可以為，至于為什么是

???? 正確的，請來個大神證明！ 另外為2或者3時，需要特判。

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代碼：

#include <iostream> #include <stdio.h> #include <string.h> #include <algorithm> #include <math.h>using namespace std; typedef long long LL;const int N = 2;struct Matrix {LL m[N][N]; };Matrix I = {1, 0,0, 1 };LL quick_mod(LL a, LL b, LL m) {LL ans = 1;a %= m;while(b){if(b & 1){ans = ans * a % m;b--;}b >>= 1;a = a * a % m;}return ans; }LL Legendre(LL a, LL p) { LL t = quick_mod(a, (p - 1) >> 1, p); if(t == 1) return 1; return -1; } Matrix multi(Matrix a, Matrix b, LL m) {Matrix c;for(int i = 0; i < N; i++){for(int j = 0; j < N; j++){c.m[i][j] = 0;for(int k = 0; k < N; k++)c.m[i][j] += a.m[i][k] * b.m[k][j] % m;c.m[i][j] %= m;}}return c; }Matrix power(Matrix A, LL k, LL m) {Matrix ans = I, p = A;while(k){if(k & 1){ans = multi(ans, p, m);k--;}k >>= 1;p = multi(p, p, m);}return ans; }LL GetLoop(LL p) {if(Legendre(117, p) == -1)return p + 1;return p - 1; }int main() {int T;scanf("%d", &T);while(T--){LL n, p;scanf("%lld %lld", &n, &p);if(p == 2 || p == 3){puts("1");continue;}Matrix A;A.m[0][0] = 11 % p;A.m[0][1] = p - 1;A.m[1][0] = 1;A.m[1][1] = 0;LL loop = GetLoop(p);LL x = quick_mod(2, n - 1, loop);x = ((x - 1) % loop + loop) % loop;Matrix ans = power(A, x, p);LL res = (ans.m[1][0] * 119 % p + ans.m[1][1] * 11 % p) % p;res = ((res - 5) % p + p) % p;res = res * quick_mod(6, p - 2, p) % p;printf("%lld\n", res);}return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的关于欧拉工程的一道递推题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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