LPT算法的性能(近似).ppt

Claim:若G無HC，則因為H是完全圖，存在HC。H的最小HC至少有一條邊不是E的，其長為kn 正則圖是每個頂點都有相同數目的鄰居的圖，即每個頂點的度相同。若每個頂點的度均為 ，稱為 -正則圖。 如何證明一個問題的絕對近似算法是不存在的？否定結果可避免做無用功！ 注意：我們均默認近似算法是多項式時間的 如何證明一個問題的絕對近似算法是不存在的？ 注意：f(σ)和OPT(I)等均為表示利潤的整數, f(σ)= OPT(I) 意味著近似算法A找到了最優解，也就是背包問題多項式時間可解。 這里的例子說明在純組合問題上，依然可用擴放性質 頂點集C被稱為無向圖 G=(V,E) 的團，如果C是頂點集V的子集(C?V)，而且任意兩個C中的頂點都有邊連接。另一種等價的說法是，由C誘導的子圖是完全圖 (有時也用“團”來指這樣的子圖)。 極大團是指增加任一頂點都不再符合團定義的團，也就是說，極大團不能被任何一個更大的團所包含。 最大團是一個圖中頂點數最多的團。圖G的團數(clique number)ω(G) 是指G中最大團的頂點數。圖G的邊團覆蓋數(edge clique cover number)是指覆蓋G中所有的邊所需要的最少的團的數目。圖G的二分維數(bipartite dimension)是指覆蓋G中所有邊所需要的最少的二分團的數目，其中二分團(biclique)就是完全二分子圖 。而分團覆蓋問題 (Clique cover problem)所關心的是用最少的團去覆蓋G中所有的頂點。 獨立集(independent set)是剛好和團相反的概念，因為圖G中的團和圖G的補圖中的獨立集是一一對應的。 Claim直接給出了最優解之間的scaling性質：OPT(GK+1)=(k+1)OPT(G) A(GK+1)= β， A(G)= β/(k+1)=|C|, A(GK+1)= β=(k+1)|C| 若RA(I) ≤(1+?)，則稱A是(1+?)－近似算法，1-近似算法產生最優解 注意：絕對性能比與具體實例I無關，故表達比時無須用I RA=inf{r≥1:對于所有的實例I，RA(I) ≤r} RLPT是絕對性能比。即A(I)/OPT(I) ≤4/3-1/3m 證明留為作業 漸近性能比=inf{r≥1：存在n?Z+，對所有滿足OPT(I) ≥n的實例I，RA(I) ≤r} 亦可定義為：漸近性能比=inf{r≥1：存在n?Z+，對所有滿足I≥n的實例I，RA(I) ≤r} RFFD為3/2：1/2,1/3,/1/3,1/3,1/4,1/4 連通的無向圖G有歐拉路徑的充要條件是：G中奇頂點(連接的邊數量為奇數的頂點)的數目等于0或者2， 奇數點是起點和終點。 連通的無向圖G是歐拉環(存在歐拉回路)的充要條件是：G中每個頂點的度都是偶數 因為某頂點可能通過多次，故歐拉環的頂點序列長度>n。而哈密爾頓圈的頂點序列長度為n，因此，可以通過去掉重復頂點的方式得到哈密爾頓圈。因為去掉的邊長度>=0,所以HC的長度小于其ET的長度，這點由三角不等式保證。 連通的無向圖G有歐拉路徑的充要條件是：G中奇頂點(連接的邊數量為奇數的頂點)的數目等于0或者2， 奇數點是起點和終點。 連通的無向圖G是歐拉環(存在歐拉回路)的充要條件是：G中每個頂點的度都是偶數 連通的無向圖G有歐拉路徑的充要條件是：G中奇頂點(連接的邊數量為奇數的頂點)的數目等于0或者2， 奇數點是起點和終點。 連通的無向圖G是歐拉環(存在歐拉回路)的充要條件是：G中每個頂點的度都是偶數 連通的無向圖G有歐拉路徑的充要條件是：G中奇頂點(連接的邊數量為奇數的頂點)的數目等于0或者2， 奇數點是起點和終點。 連通的無向圖G是歐拉環(存在歐拉回路)的充要條件是：G中每個頂點的度都是偶數 § 1.3.4 相對近似之否定結果 絕對近似之否定：很多問題找不到絕對近似算法 相對近似之否定：有些問題的有界性能比近似算法不存在 假定OPT(I)>0 兩類近似算法之間的近似性能(相對誤差)：A是一個f(n)-近似算法當且僅當對每個size為n的輸入實例I，有： BP的一個近似算法A滿足：|A(I)-OPT(I)|≤O( lg2OPT(I) ) 蘊含著漸近性能比為1。 § 1.4 其他 近似方案(Approximation Scheme) 一個優化問題Π的近似方案是一個算法A，它以實例I和誤差界ε作為輸入，且有性能保證: RA( I, ε)≤ 1+ε。 對于最小化問題，ε是相對誤差。實際上，算法A對應一個算法族{Aε：ε>0}使得 多項式近似方案(PAS: Polynomial Approximation Scheme) 是一近似方案{Aε}，對任一確定的ε，每個算法均以其size[I]的多項式時

總結

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