這學(xué)期兩門主課?算法設(shè)計與分析（Algorithm and Analysis，ADA）?和 圖論與算法（Graph Theory and Algorithms, GTA） 都涉及到很多經(jīng)典圖論問題以及相關(guān)代碼實(shí)現(xiàn)，遂寫下此文，以記錄學(xué)習(xí)過程，隨緣更新。

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深度優(yōu)先遍歷（經(jīng)典DFS）：

從圖中某一個節(jié)點(diǎn)出發(fā)，如果有未探索的鄰居節(jié)點(diǎn)，則選擇其中應(yīng)該進(jìn)行深入探索（其他節(jié)點(diǎn)暫時不管），每到一個新的節(jié)點(diǎn)則遞歸進(jìn)行上述過程。當(dāng)探索無法繼續(xù)時（當(dāng)前節(jié)點(diǎn)的所有鄰居都在前面的探索過程中被標(biāo)記過），則沿原路徑回退。回退到某個節(jié)點(diǎn)時，若它還有其他的鄰居節(jié)點(diǎn)沒有探索，則繼續(xù)深入探索。

使用白色，黑色，灰色記錄每個節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)：

白色：表示一個節(jié)點(diǎn)尚未被遍歷；

灰色：表示一個節(jié)點(diǎn)已經(jīng)被遍歷到，但是對于它的遍歷尚未結(jié)束；即該節(jié)點(diǎn)還有若干鄰居節(jié)點(diǎn)等待遍歷，而當(dāng)前算法正在遞歸處理其中一個鄰居節(jié)點(diǎn)；

黑色：表示一個節(jié)點(diǎn)的所有鄰居已經(jīng)完成遍歷，其自身的遍歷也結(jié)束。

框架代碼（包括封裝和實(shí)現(xiàn)兩部分）：

具體實(shí)現(xiàn)（根據(jù)DFS遍歷順序簡單輸出一下各個節(jié)點(diǎn)的編號）：

// DFS #include <iostream> #define N 10000 using namespace std;int graph[N][N]; int color[N]; // 0 white, 1 grey, 2 black int n, m;void dfs(int v) {color[v] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++){if (i != v && graph[v][i] == 1){if (color[i] == 0){dfs(i);}}}cout << v << " ";color[v] = 2; }void my_dfs() {for (int i = 1; i <= n; i++){if (color[i] == 0)dfs(i);}cout << endl; }int main() {cin >> n >> m;for (int i = 0; i < m; i++){int x, y;cin >> x >> y;graph[x][y] = 1;}my_dfs();return 0; }/* input： 7 13 1 2 1 3 1 6 2 3 2 4 4 1 4 3 5 3 5 7 6 1 6 3 7 4 7 5output: 3 4 2 6 1 7 5 */

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廣度優(yōu)先遍歷（BFS）：

從圖中某個節(jié)點(diǎn)出發(fā)，首先處理該節(jié)點(diǎn)指向鄰居的所有邊，然后將所有鄰居放入一個調(diào)度器——隊列（queue）中，接著處理該節(jié)點(diǎn)。下一個遍歷的節(jié)點(diǎn)從當(dāng)前被發(fā)現(xiàn)但未被處理的點(diǎn)中選出，即隊列的首個節(jié)點(diǎn)，然后將其鄰居節(jié)點(diǎn)依次放入隊尾，處理該節(jié)點(diǎn)自身。重復(fù)以上過程，直到隊列為空，所有節(jié)點(diǎn)均被處理完畢。

仍然以上面的圖為例，輸出BFS順序遍歷每個節(jié)點(diǎn)的值：

// BFS #include <iostream> #include <queue> #define N 10000 using namespace std;int graph[N][N]; int color[N]; // 0 white, 1 grey, 2 black int parent[N]; int dis[N]; int n, m;void bfs(int v) {queue<int> que;color[v] = 1; // greydis[v] = 0; // 源點(diǎn)que.push(v);while(!que.empty()){int w = que.front();que.pop();for (int i = 1; i < n; i++){if (i != w && graph[w][i] == 1){if (color[i] == 0){color[i] = 1; //greyparent[i] = w;dis[i] = dis[w] + 1;que.push(i);}}}cout << w << " ";color[w] = 2; // black} }void my_bfs() {for (int i = 1; i <= n; i++){color[i] = 0;parent[i] = 0;dis[i] = 0;}for (int i = 1; i <= n; i++){if (color[i] == 0)bfs(i);}cout << endl; }int main() {cin >> n >> m;for (int i = 0; i < m; i++){int x, y;cin >> x >> y;graph[x][y] = 1;}my_bfs();return 0; }/* input： 7 13 1 2 1 3 1 6 2 3 2 4 4 1 4 3 5 3 5 7 6 1 6 3 7 4 7 5 output: 1 2 3 6 4 5 7 */

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網(wǎng)絡(luò)中的最大流：

題目描述：

給定n個點(diǎn)，m條有向邊，給定每條邊的容量，求從點(diǎn)s到點(diǎn)t的最大流

輸入：

第一行四個整數(shù)n，m，s，t。
接下來的m行，每行三個整數(shù)u，v，c，表示u到v，流量為c的一條邊，

輸出：

輸出點(diǎn)s到點(diǎn)t的最大流。

樣例輸入 ：

7 14 1 7 1 2 5 1 3 6 1 4 5 2 3 2 2 5 3 3 2 2 3 4 3 3 5 3 3 6 7 4 6 5 5 6 1 6 5 1 5 7 8 6 7 7

樣例輸出 ：

14

提示：

1<=n<=100，1<=m<=5000，0<=c<=2147483647

#include <iostream> #include <cstring> using namespace std;const int N = 10001, E = 200001;int n, m, s, t; long long ans = 0; long long cnt = 1, first[N], nxt[E], to[E], val[E];inline void addE(int u, int v, long long w) {to[++cnt] = v;val[cnt] = w;nxt[cnt] = first[u];first[u] = cnt; }int dep[N], q[N], l, r;bool bfs() { memset(dep, 0, (n + 1) * sizeof(int));q[l = r = 1] = s;dep[s] = 1;while (l <= r) {int u = q[l++];for (int p = first[u]; p; p = nxt[p]) {int v = to[p];if (val[p] and !dep[v]) { dep[v] = dep[u] + 1;q[++r] = v;}}}return dep[t]; }long long dfs(int u, long long in) {if (u == t)return in;long long out = 0;for (int p = first[u]; p and in; p = nxt[p]){int v = to[p];if (val[p] and dep[v] == dep[u] + 1) {long long res = dfs(v, min(val[p], in));val[p] -= res;val[p ^ 1] += res;in -= res;out += res;}}if (out == 0)dep[u] = 0;return out; }int main() {cin >> n >> m >> s >> t;for (int i = 1; i <= m; i++) {int u, v; long long w;cin >> u >> v >> w;addE(u, v, w);addE(v, u, 0);}while (bfs())ans += dfs(s, 1e18);cout << ans << endl;return 0; } /**************************************************************Problem: 1006User: 201830210Language: C++Result: 正確Time:56 msMemory:0 kb ****************************************************************/

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二分圖中的最大匹配問題：

題目描述：

給定一個二分圖，其左部點(diǎn)的個數(shù)為n，右部點(diǎn)的個數(shù)為m，邊數(shù)為e，求其最大匹配的邊數(shù)。

左部點(diǎn)從1至n編號，右部點(diǎn)從1至m編號。

輸入：

輸入的第一行是三個整數(shù)，分別代表n,m,e。

接下來輸入e行，每行兩個整數(shù)u,v，表示存在一條連接左部點(diǎn)u和右部點(diǎn)v的邊。

輸出：

輸出一個整數(shù)，代表二分圖最大匹配的邊數(shù)。

樣例輸入：

4 2 7 3 1 1 2 3 2 1 1 4 2 4 1 1 1

樣例輸出：

2

提示：

1<= n,m <=100

#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std;int n,m; int cnt=2; int alist[6000001]; struct data {int v;int next;int value; }edge[6000001];void add(int u,int v,int value) {edge[cnt].v=v;edge[cnt].value=value;edge[cnt].next=alist[u];alist[u]=cnt++;return ; } int h[1000001]; int q[1000001];bool bfs() {int x,next;memset(h,-1,sizeof(h));int head=0,tail=1;q[head]=1;h[1]=0;while(head<tail){x=q[head++];next=alist[x];while(next){int v=edge[next].v;int value=edge[next].value;if(value&&h[v]<0){q[tail++]=v;h[v]=h[x]+1;}next=edge[next].next;}}if(h[n]==-1) return false;return true; }int ans; int dfs(int x,int y) {if(x==n) return y;int next=alist[x];int w,used=0;while(next){int v=edge[next].v;int value=edge[next].value;if(value&&h[v]==h[x]+1){w=y-used;w=dfs(v,min(w,value));edge[next].value-=w;edge[next^1].value+=w;used+=w;if(used==y) return y;}next=edge[next].next;}if(!used) h[x]=-1;return used; } void dinic() {while(bfs()) ans+=dfs(1,0x7fffffff); } int n1,m1,e1; int main() {scanf("%d%d%d",&n1,&m1,&e1);n=n1+m1+2;for(int i=1;i<=n1;i++){add(1,i+1,1);add(i+1,1,1);}for(int i=1;i<=e1;i++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);if(u<=n1&&v<=m1)add(u+1,v+n1+1,1),add(v+n1+1,u+1,1);}for(int i=1;i<=m1;i++){add(i+n1+1,n,1);add(n,i+n1+1,1);}dinic();printf("%d",ans);return 0; } /**************************************************************Problem: 1005User: 201830210Language: C++Result: 正確Time:9 msMemory:0 kb ****************************************************************/

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的【算法】图论学习笔记与代码实现的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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