礦工挖礦問題

礦工挖礦

問題描述

該問題為了解決在給定金礦和礦工數量的前提下，能夠獲得最多黃金的挖礦策略。很多算法題其實就是這個問題換了一個情境。

有5個金礦，每個金礦黃金儲量不同，需要參與挖掘的工人數目也不同，假定有10個工人，每個金礦要么全挖，要么不挖，不可以拆分，試問，想得到最多的黃金，應該選擇挖取哪幾個金礦。金礦信息如下表。

金礦編號黃金儲量所需工人數目

1	400	5
2	500	5
3	200	3
4	300	4
5	350	3

題解思路

如果要使用動態規劃解題，就要確定動態規劃的三要素：最優子結構、邊界和狀態轉移函數。

最優子結構

解題目標是確定10個工人挖5個金礦能夠獲得最多的黃金量，該問題可以從10個工人挖4個金礦的子問題中遞歸求解。而我們在解決10個工人挖4個金礦時，存在兩種選擇，一種是放棄第5個礦，將10個工人投入到挖四個礦中；另一種選擇是決定對第5個礦進行挖掘，因此需要從這10個人中抽取3個人（第5個礦需要人數）加入第5個礦開采，剩余的人處理前4個礦。因此，最優解應該是這兩種選擇中獲得黃金數量較多的那一種。

為了描述方便，設金礦數量為$n$，工人個數為$w$，第n個礦的黃金數量為$G[n?1]$,第n個礦所需工人為$P(n)$，要想獲得10個礦工挖掘5個金礦的最優解為$max(F(4,10),F(4,10?P[4])+G[4])$。這就是最優子結構。

邊界

對于第一個金礦而言，若當前的礦工數量不能達到金礦的挖掘需要則只能放棄這個礦，獲得的黃金數量為0；若能滿足礦工數量要求，獲得的黃金數量為$G[0]$。
因此，邊界可以描述為

• $n=1,w>=P[0]$時，$F(n,w)=G[0]$
• $n=1,w<P[0]$時，$F(n,w)=0$

狀態轉移函數

$$F(n,w)=?\begin{array}{rlr}& 0& (n<=1,w<P[0])\\ & G[0]& (n==1,w>=P[0])\\ & F(n?1,w)& (n>1,w<P[n?1])\\ & max(F(n?1,w),F(n?1,w?P[n?1])+G[n?1])& (n>1,w>=P[n?1])\end{array}$$

到這里，三要素找到了，經過這個過程也明白了求解過程，由底向上計算，一步步推導可以得到結果，換句話說，n步的解其實就是第一步的結果推來的。

首先，我們可以使用遞歸的方法來寫，它是自頂而下的。

def gold_mining(n ,w, G, P):if n <= 1 and w < P[0]:return 0if n == 1 and w >= P[0]:return G[0]if n > 1 and w < P[n-1]:return gold_mining(n-1, w, G, P)if n > 1 and w >= P[n-1]:return max(gold_mining(n-1, w, G, P), gold_mining(n-1, w-P[n-1], G, P) + G[n-1])if __name__ == '__main__':G = [400, 500, 200, 300, 350]P = [5, 5, 3, 4, 3]n = 5w = 10print(gold_mining(n, w, G, P))

這個解法可以求得最優解，會以樹形結構求解子問題，如下圖所示，不難發現，若金礦有$n$和，工人充足，復雜度即為$O(2^n)$。

優化思路

當金礦只有5個的時候，問題不是很復雜，但是當金礦數目增加的時候，這樣的復雜度是無法接受的，直觀上來看，這種遞歸之所以慢其實是因為進行了如下圖所示的重復計算。

事實上，我們可以通過維護DP Table的方式來存儲最優解從而以自下而上的方式求解本題，表格中的dp[i][j]就表示F(n,w)的值，因此我們可以得到如下的代碼。

def gold_mining(n ,w, G, P):dp = [[0] * (w+1) for _ in range(len(G)+1)]for i in range(1, len(G)+1):for j in range(1, w+1):if j < P[i-1]:dp[i][j] = dp[i-1][j]else:dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-P[i-1]] + G[i-1])return dp[len(G)][w]if __name__ == '__main__':G = [400, 500, 200, 300, 350]P = [5, 5, 3, 4, 3]n = 5w = 10print(gold_mining(n, w, G, P))

上述代碼的時間復雜度和空間復雜度都是$O(nw)$，這比遞歸的性能好了很多。

進一步優化

上面這段代碼其實時間上已經沒什么優化的空間了，空間上還可以進一步優化。我們不妨回顧DP表，可以發現，其實每一行的結果值依賴于上一行的10個結果。舉個例子，我們已4個金礦9個工人為例，$F(4,9)$來源于$F(3,5)$和$F(3,9)$，這兩個結果顯然在上一行已經計算了。

因此，其實無論金礦多少個，我們也只需要保存一行的數據，在下一行計算時，從右向左統計并更新數據即可。

優化后的代碼如下，可以發現，空間復雜度降低到了$O(n)$，這就是本題的最優方法了。

def gold_mining(n ,w, G, P):dp = [0] * (w+1)for i in range(1, len(G)+1):for j in range(w, 0, -1):if j >= P[i-1]:dp[j] = max(dp[j], dp[j-P[i-1]] + G[i-1])return dp[w]if __name__ == '__main__':G = [400, 500, 200, 300, 350]P = [5, 5, 3, 4, 3]n = 5w = 10print(gold_mining(n, w, G, P))

補充說明

具體代碼可以查看我的Github，歡迎Star或者Fork，參考書《你也能看得懂的Python算法書》，書中略微有一點不合理之處，做了修改。到這里，其實你已經體會到了動態規劃的簡約之美，當然，要注意Python是有遞歸深度限制的，如不是必要，建議使用循環控制。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的动态规划算法-02矿工挖矿问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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