幾何問題之凸包

• 簡(jiǎn)介
  • 簡(jiǎn)單地說，凸包是正好包含所有點(diǎn)的凸多邊形，可以將它想象為一個(gè)包圍點(diǎn)幾何的橡皮筋。之所以叫凸包是因?yàn)檫@個(gè)凸多邊形包圍所有點(diǎn)。本案例主要講解分治法解決凸包問題，常見的還有Graham掃描法、Jarvis步進(jìn)法、快包法等。
• 問題描述
  • 給定點(diǎn)集合，輸出凸包的頂點(diǎn)集合。
• 問題分析
  • 分治法講究分而治之，核心思想很容易理解，難的是想出實(shí)施的具體步驟。怎么把大問題拆分成小問題并且確保兩者的結(jié)構(gòu)相同，是問題的關(guān)鍵。凸包問題的分治解法不唯一，這里使用其中一種。
  • 步驟
    • 首先，連接最左端和最右端的兩點(diǎn)，連接線上方的為上包，下方的為下包。同時(shí)，將這兩點(diǎn)加入頂點(diǎn)集。
    • 然后，找到直線兩側(cè)距離直線最遠(yuǎn)的兩個(gè)點(diǎn)，與上一步的兩個(gè)點(diǎn)相連，此時(shí)加入了四條連線，每條連線再次區(qū)分上包和下包。這里，將問題分解為4個(gè)子問題。新找出的兩點(diǎn)肯定是凸包的頂點(diǎn)，將其加入頂點(diǎn)集。
    • 尋找各包中與直線距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)，連接，劃分子上包和子下包。直到上包與下包為空，終止循環(huán)，輸出頂點(diǎn)集合。
  • 總結(jié)一下，首先分出上包與下包，然后找兩個(gè)最遠(yuǎn)點(diǎn)連線，再次分出兩個(gè)上包與兩個(gè)下包。在此之后，上包遞歸分出兩個(gè)子上包，下包分出兩個(gè)子下包，直到包中節(jié)點(diǎn)數(shù)小于等于1.每一次遞歸都是把最遠(yuǎn)點(diǎn)加入頂點(diǎn)集。分治的思路在于每一次遞歸只找一個(gè)頂點(diǎn)，并把剩余頂點(diǎn)交給子問題，也就是子包去解決。
• 代碼
  • # -*-coding:utf-8-*-from math import sqrtsolution = []def convex_hull(points: list):if len(points) <= 3:return pointsglobal solutionpoints.sort(key=lambda x:x[0]) # 按照橫坐標(biāo)排序left_most = points[0]right_most = points[-1]solution.extend([left_most, right_most])helper(points, left_most, right_most, True)helper(points, left_most, right_most, False)return solutiondef helper(points, left_most, right_most, upBool):""":param points::param left_most::param right_most::param upBool: 上包為True:return:"""global solutionif len(points) <= 1:returnl = line_helper(left_most, right_most)if upBool:up = []max_distance = 0max_point = ()for point in points:distance = 0-(l[0]*point[0]+l[1]*point[1]+l[2]) / sqrt(l[0]*l[0]+l[1]*l[1]) # 與直線的距離if distance > 0:up.append(point)if distance > max_distance:max_distance = distancemax_point = pointif max_point != ():solution.append(max_point)helper(up, left_most, max_point, True)helper(up, max_point, right_most, True)else:down = []min_distance = 0min_point = ()for point in points:distance = 0 - (l[0] * point[0] + l[1] * point[1] + l[2]) / sqrt(l[0] * l[0] + l[1] * l[1]) # 與直線的距離if distance < 0:down.append(point)if distance < min_distance:min_distance = distancemin_point = pointif min_point != ():solution.append(min_point)helper(down, left_most, min_point, False)helper(down, min_point, right_most, False)def line_helper(point1, point2):"""計(jì)算距離:param point1::param point2::return:"""if (point1[0]-point2[0]) != 0:m = (point1[1]-point2[1]) / (point1[0]-point2[0])c = point1[1] - m * point1[0]return [m, -1, c]else:return [1, 0, point1[0]]if __name__ == '__main__':input_points = [(0, 0), (0, 4), (-4, 0), (5, 0), (0, -6), (1, 0)]print("Input:", input_points)rst = convex_hull(input_points)print("Output", rst)
• 運(yùn)行結(jié)果
• 補(bǔ)充說明
  • 具體代碼可以查看我的Github，歡迎Star或者Fork
  • 對(duì)代碼進(jìn)行了一些修正
  • 參考書《你也能看得懂的Python算法書

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的分治算法-02凸包问题的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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