本文轉(zhuǎn)載自Maple博客的算法模板-01背包問題，轉(zhuǎn)載請注明出處。

題目描述

最基本的01背包問題描述如下：
有$N$件物品和一個容量為$V$的背包，放入第$i$個物品需要耗費(fèi)的代價為$C_i$，得到的價值為$W_i$，求解將哪些物品裝入背包可使價值總和最大。

解法

基本思路

最基礎(chǔ)的背包問題，其每一件物品只有一個，可以選擇放或者不放。一般采用二維動態(tài)規(guī)劃來解決問題，通常定義其子狀態(tài)為$dp[i][v]$，表示前$i$個物品放入到容量為$v$的背包中的最大的價值總和。那么這個值是如何得到的呢，對于第$i$個物品，無非就是兩種情況，放或者不放。如果不放或者根本放不下（$v<C_i$），那么問題等同于前$i?1$個物品放入到容量為$v$的背包的情況，即：
$$dp[i][v]=dp[i?1][v]$$
如果選擇放，那么問題就等同于前$i?1$個物品放入到容量為$v?C_i$的背包的情況，即：
$$dp[i][v]=dp[i?1][v?C_i]$$
最終$dp[i][v]$的取值就兩者中更大的一個。

初始化dp數(shù)組時的細(xì)節(jié)

在大多數(shù)動態(tài)規(guī)劃解法的題目中，初始化一直是很重要并且較難思考的一件事情。一般在求最優(yōu)解的背包問題中，有兩種問法，一個是要求“恰好裝滿背包”時的最優(yōu)解，另一個則是不需要恰好裝滿背包，只求最優(yōu)解。
如果是第一種情況，要求恰好裝滿背包，那么在初始化的時候，除了$dp[0][0]$為0，其它的$dp[0][1...V]$均設(shè)為$?\infty$。說明此時只有容量為0的背包可以在什么也不裝的情況下被“恰好裝滿”，其價值為0，而容量為1…V的背包，無法在沒有物品的情況下被裝滿，沒有合法的解，所以設(shè)定為$?\infty$。
對于第二種情況，題目并沒有要求背包裝滿，只是希望價值盡可能大，那么$dp[0][0...V]$均初始化為0。因為任何容量的背包都有一個合法解“什么都不裝”，這個解的價值為0，所以初始化狀態(tài)的值也就全部為0了。

背包問題的優(yōu)化

上述的基本思路中，時間和空間的復(fù)雜度均為$O(VN)$，其中的空間復(fù)雜度是可以被優(yōu)化到$O(V)$的。從$dp[i][v]$的更新方程中不難看出，其實$dp[i]$的值，只和$dp[i?1]$有關(guān)，如下圖：

那我們在一開始初始化的時候，只需要初始化$dp[0...V]$大小的數(shù)組即可，每一次對物品的循環(huán)（$i$）都只需要更新這一行數(shù)組就行。但需要注意的是，更新的時候要逆序更新，即從V更新到0。
舉個例子，假如正向更新，訪問到了$v=6$的時候，你需要通過$new\_dp[6]=max(old\_dp[6],old\_dp[3])$，而由于是正向更新，$v=3$的值已經(jīng)被更新成了$new\_dp[3]$，$old\_dp[3]$已經(jīng)無法被訪問，所以無法更新，所以這一層循環(huán)需要你需更新。

題目列表

在這里列舉leetcode上四題經(jīng)典01背包的題目。

• leetcode-416 分割等和子集
• leetcode-474 一和零
• leetcode-494 目標(biāo)和
• leetcode-879 盈利計劃

416 分割等和子集

原題鏈接

這題要求判斷是否一個數(shù)組分成相等的兩個子數(shù)組。
即選取若干個數(shù)字，剛好值為和的一半。
Python代碼如下：

class Solution:def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:n = len(nums)if n == 1: return Falsetotal = sum(nums)if total % 2 == 1: return Falsetarget = total // 2maxnum = max(nums)if maxnum > target: return Falsedp = [[False] * (target + 1) for _ in range(n)]for i in range(n):dp[i][0] = Truedp[0][nums[0]] = Truefor i in range(1, n):num = nums[i]for j in range(1, target + 1):if j < num:dp[i][j] = dp[i - 1][j]else:dp[i][j] = dp[i - 1][j] | dp[i - 1][j - num]return dp[n - 1][target]

優(yōu)化空間復(fù)雜度的版本如下：

class Solution:def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:n = len(nums)if n < 2:return Falsetotal = sum(nums)if total % 2 != 0:return Falsetarget = total // 2dp = [True] + [False] * targetfor i, num in enumerate(nums):for j in range(target, num - 1, -1):dp[j] |= dp[j - num]return dp[target]

474 一和零

原題鏈接
這題要求給你一個字符串?dāng)?shù)組，里面的字符串均為0和1組成，例如：strs = [“10”, “0001”, “111001”, “1”, “0”]，再給你$m=5$和$n=3$，讓你找出0的個數(shù)小于$m$且1的個數(shù)小于$n$的最大子集的長度。
這題同經(jīng)典背包問題不同的是，它有兩重限制，需要采用三維動態(tài)規(guī)劃完成，Python代碼如下：

class Solution:def findMaxForm(self, strs: List[str], m: int, n: int) -> int:k = len(strs)if m == 0 and n == 0: return 0dp = [[[False] * (n + 1) for _ in range(m + 1)] for __ in range(k + 1)]for s in range(k+1):dp[s][0][0] = 0for i in range(m+1):for j in range(n+1):dp[0][i][j] = 0for s in range(1, k+1):for i in range(m + 1):for j in range(n + 1):nums0, nums1 = self.count(strs[s - 1])if nums0 <= i and nums1 <= j:dp[s][i][j] = max(dp[s - 1][i][j], dp[s - 1][i - nums0][j - nums1] + 1)else:dp[s][i][j] = dp[s - 1][i][j]return dp[k][i][j]def count(self, s):count0, count1 = 0, 0for ss in s:if ss == '0':count0 += 1elif ss == '1':count1 += 1return count0, count1

雖然是三維動態(tài)規(guī)劃，但其也可以進(jìn)行空間復(fù)雜度的優(yōu)化，其代碼如下：

class Solution:def findMaxForm(self, strs: List[str], m: int, n: int) -> int:k = len(strs)if m == 0 and n == 0: return 0dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]dp[0][0] = 0for s in range(1, k + 1):for i in range(m, -1, -1):for j in range(n, -1, -1):nums0, nums1 = self.count(strs[s - 1])if nums0 <= i and nums1 <= j:dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - nums0][j - nums1] + 1)return dp[m][n]def count(self, s):count0, count1 = 0, 0for ss in s:if ss == '0':count0 += 1elif ss == '1':count1 += 1return count0, count1

494 目標(biāo)和

原題鏈接
題目要求，將給的數(shù)組中每個數(shù)字前面添加“$+$”或者“$?$”，使得整個公式的和為題目給的target，問一共有多少種公式。
例如，對于nums = [1,1,1,1,1], target = 3，則共有5種公式：
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3
第一眼看上去這題與背包問題并不一致，需要做一點(diǎn)小小的改變。通過所有數(shù)的總和以及給出的target，我們可以計算出所有前面符號為“$?$”的數(shù)的總和為$\frac{total?target}{2}$。原題也就轉(zhuǎn)換成，要求出有多少種挑選的方法可以使得挑選出來的數(shù)字和為$\frac{total?target}{2}$，和416類似。此外，若$\frac{total?target}{2}$根本就只是小數(shù)，那說明一種方法都沒有，直接返回0。
Python代碼如下：

class Solution:def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:total = sum(nums)if total < target: return 0if (total - target) % 2 == 1: return 0neg = (total - target) // 2n = len(nums)dp = [[0] * (neg + 1) for _ in range(n + 1)]dp[0][0] = 1for i in range(1, n + 1):for j in range(neg + 1):if nums[i - 1] > j:dp[i][j] = dp[i - 1][j]else:dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i - 1]]return dp[n][neg]

優(yōu)化版本的Python代碼如下：

class Solution:def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:total = sum(nums)if total < target: return 0if (total - target) % 2 == 1: return 0neg = (total - target) // 2n = len(nums)dp = [0] * (neg + 1)dp[0] = 1for i in range(1, n + 1):for j in range(neg, -1, -1):if nums[i - 1] <= j:dp[j] += dp[j - nums[i - 1]]return dp[-1]

879 目標(biāo)和

原題鏈接
原題看上去比較復(fù)雜，其實跟474一樣，是二重限制的背包問題，需要三重動態(tài)規(guī)劃來解。
Python代碼如下：

class Solution:def profitableSchemes(self, n: int, minProfit: int, group: List[int], profit: List[int]) -> int:length = len(group)dp = [[[0] * (minProfit + 1) for _ in range(n + 1)] for _ in range(length + 1)]dp[0][0][0] = 1for i in range(1, length + 1):g, p = group[i - 1], profit[i - 1]for j in range(n + 1):for k in range(minProfit + 1):if j < g:dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k]else:dp[i][j][k] = (dp[i - 1][j][k] + dp[i - 1][j - g][max(0, k - p)]) % (10**9 + 7)ans = sum(dp[length][j][minProfit] for j in range(n + 1))return ans % (10**9 + 7)

其中，在狀態(tài)轉(zhuǎn)移的時候，$dp[k]$并不是直接等于$dp[k?profit[i?1]]$，這是因為$k$代表著至少利潤是$k$，$k?profit[i?1]$是可能為負(fù)的，也是合法狀態(tài)，但數(shù)組中并沒有存儲“利潤至少為負(fù)”的狀態(tài)，所以需要改成$dp[max(0,k?profit[i?1])]$，因為“利潤至少為負(fù)”和“利潤至少為零”是等價的。
優(yōu)化版本的Python代碼如下：

class Solution:def profitableSchemes(self, n: int, minProfit: int, group: List[int], profit: List[int]) -> int:dp = [[0] * (minProfit + 1) for _ in range(n + 1)]for i in range(0, n + 1):dp[i][0] = 1for earn, members in zip(profit, group):for j in range(n, members - 1, -1):for k in range(minProfit, -1, -1):dp[j][k] = (dp[j][k] + dp[j - members][max(0, k - earn)]) % (10**9 + 7)return dp[n][minProfit] 超強(qiáng)干貨來襲 云風(fēng)專訪：近40年碼齡，通宵達(dá)旦的技術(shù)人生

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的算法模板-01背包的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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