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題目大意：n 個(gè)機(jī)器人在數(shù)軸上賽跑，給出每個(gè)機(jī)器人的起點(diǎn)和加速度，初始速度都為 0 ，問(wèn)有多少個(gè)機(jī)器人在賽跑的過(guò)程中可以成為最前面的一個(gè)

題目分析：又是被zx學(xué)長(zhǎng)秒掉的一道題，感謝zx學(xué)長(zhǎng)的耐心講解

首先根據(jù)高中物理知識(shí)，根據(jù)已知條件，可以得到位移與時(shí)間的方程?，y 代表位移，x 代表時(shí)間，b 代表初始位置，k 代表加速度

因?yàn)槎际菕佄锞€，求交點(diǎn)非常的麻煩，因?yàn)槲覀冎恍枰蠼稽c(diǎn)的相對(duì)位置，所以可以將方程轉(zhuǎn)換為位移與時(shí)間的平方的方程：，這樣并不會(huì)影響交點(diǎn)的相對(duì)位置，同時(shí)將每一個(gè)位移曲線都轉(zhuǎn)換為一條直線表示了

那么如何將機(jī)器人成為最前面的一個(gè)體現(xiàn)出來(lái)呢？將 n 條直線對(duì)應(yīng)到平面直角坐標(biāo)系中，將 x 軸從 [ 0 , inf ) 劃分為無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，對(duì)于每個(gè) x 而言，對(duì)應(yīng)位置最上面的那條直線所代表的機(jī)器人，就是在 x 時(shí)刻最領(lǐng)先的機(jī)器人，所以我們只需要統(tǒng)計(jì)有多少條直線成為過(guò)最上面的直線就好了

按照斜率排序，就可以發(fā)現(xiàn)相鄰的三條直線會(huì)出現(xiàn)下面兩種情況：

我們將直線 i - 1 與直線 i 的交點(diǎn)記為 ( x1 , y1 ) ，將直線 i 與直線 i + 1 的交點(diǎn)記為 ( x2 , y2 ) ，發(fā)現(xiàn)當(dāng) x1 < x2 時(shí)，直線 i 所代表的機(jī)器人才有可能在最上面，而當(dāng) x1 >= x2 時(shí)，直線 i 完全被直線 i - 1 和直線 i + 1 所擋住，也就無(wú)法在最上面了

到此為止，我們就可以利用單調(diào)棧來(lái)實(shí)現(xiàn)上述模擬了，棧內(nèi)維護(hù)的是都可以在最上面的直線，對(duì)于新遍歷到的直線 i ，因?yàn)槲覀円呀?jīng)按照斜率遞增了，顯然單調(diào)棧內(nèi)所有初始位置 b 小于當(dāng)前直線的直線都是不符合條件的，如下圖所示：

顯然在上圖中，st [ top ] 所代表的直線完全被第 i 條直線所覆蓋

還有就是對(duì)于棧中的元素，將 st[ top - 1 ] , st[ top ] 和 i 這三條直線分別對(duì)應(yīng)上文中的 i - 1 , i , i + 1 三條直線來(lái)比較交點(diǎn)的位置亦可以判斷合理性

最后有個(gè)坑點(diǎn)，就是如果有兩個(gè)機(jī)器人，起點(diǎn)和加速度都是相同的話，那么這兩個(gè)機(jī)器人是不會(huì)對(duì)答案提供貢獻(xiàn)的，這個(gè)可以用 map 判斷一下

代碼：
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#include<iostream> #include<cstdio> #include<string> #include<ctime> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #include<stack> #include<climits> #include<queue> #include<map> #include<set> #include<sstream> #include<cassert> #include<bitset> #include<unordered_map> using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=5e4+100;const double eps=1e-8;const double pi = acos(-1.0);int sgn(double x){if(fabs(x) < eps)return 0;if(x < 0)return -1;else return 1; }struct Line {LL k,b;bool operator<(const Line& t)const{if(k!=t.k)return k<t.k;return b>t.b;} }line[N];int st[N],tp;double get_x(int i,int j)//y=k1x+b1,y=k2x+b2,前式減后式，得到x=-1.0*(b1-b2)/(k1-k2)，得到x的坐標(biāo) {return (-1.0*(line[i].b-line[j].b))/(1.0*(line[i].k-line[j].k)); }map<pair<LL,LL>,int>mp;int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE // freopen("data.in.txt","r",stdin); // freopen("data.out.txt","w",stdout); #endif // ios::sync_with_stdio(false);int w;cin>>w;while(w--){mp.clear();int n;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld%lld",&line[i].b,&line[i].k);line[i].b*=2;//因?yàn)橹恍枰蠼稽c(diǎn)的相對(duì)位置，所以x和y軸同時(shí)放大兩倍，避免出現(xiàn)1/2mp[make_pair(line[i].b,line[i].k)]++;}sort(line+1,line+1+n);tp=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(line[i].k==line[i-1].k)//兩直線平行 continue;while(tp&&line[i].b>=line[st[tp]].b)//如果當(dāng)前直線在棧頂?shù)闹本€上面，說(shuō)明棧頂?shù)闹本€不可能被看到 tp--;while(tp>1&&sgn(get_x(st[tp-1],st[tp])-get_x(st[tp],i))>=0)tp--;st[++tp]=i;}int ans=0;for(int i=1;i<=tp;i++){if(mp[make_pair(line[st[i]].b,line[st[i]].k)]==1)ans++;}printf("%d\n",ans);}return 0; }

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總結(jié)

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