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題目大意：給出 n ( n <= 2000 ) 個點，求出所有不同的銳角三角形的面積

題目分析：n^3 暴力枚舉肯定是不可以的，和之前寫過的一個題目思路很像：HDU-5784

所以這個題目的思路就是，枚舉所有的角，如果是銳角的話貢獻為 1，如果是鈍角或直角的話貢獻為 -2，最后相加除以 3 即可，可行性的證明可以直接列舉一下三種三角形的情況：

銳角三角形：三個角都是銳角，計算出的貢獻為 3 倍的面積

直角三角形：一個角為直角，其余兩個角都為銳角，直角的提供?-2 倍的貢獻，其余兩個銳角提供 2 倍的貢獻，可以相互抵消

鈍角三角形：同直角三角形可以抵消

這樣的話利用極角排序枚舉每個角，將時間復雜度優化到 n^2logn，具體就是，O( n ) 枚舉一個點記為?A，O( nlogn ) 以點 A 為中心進行極角排序，隨后 O( n ) 枚舉一條向量 AB，雙指針尋找另一個向量的可行邊界 AC，這樣就可以快速計算出角 BAC 的貢獻了，因為點積和叉積都滿足分配率，就可以將叉積求解三角形面積的公式進行化簡，用前綴和來進行輔助計算即可

值得一提的是，點積的幾何意義是，兩個向量的方向：

AB * AC > 0 ：角 BAC 大于 0 度，小于 90 度

AB * AC = 0 ：角 BAC 等于 90 度，也就是 AB 垂直于 AC

AB * AC < 0 ：角 BAC 大于 90 度，小于 180 度

然后叉積的幾何意義是方向，右手定則，通俗一點來講就是在 180 度以內，兩條向量的相對位置，如果只關注叉積的數值的話，叉積的絕對值是兩個向量所組成的平行四邊形的面積

還有就是極角排序，需要先對向量進行象限排序，如果不在同一象限的話再按照叉積排序（叉積相同且象限相同的話，怎么排都無所謂了，因為在這個題目中是都會跳過的（因為兩個向量共線，三角形的面積為 0 ，沒必要過多的計算））

最后就是這個題目需要注意的一點了，數據范圍給的特別大，顯然用 double 是不行的了，double 的精度也就只有 1e15 的樣子，所以所有的數據都需要用 long long 來儲存，然后好多好多地方的運算都會爆 long long ，需要暫時用 __int128 來進行運算，代碼中我用小寫的 ll 代替 __int128 ，大寫的 LL 代替的 long long

比較不錯的一道題目吧，做完之后收獲頗豐

代碼：
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#pragma GCC optimize(2) #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math") //#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx") #include<iostream> #include<cstdio> #include<string> #include<ctime> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #include<stack> #include<climits> #include<queue> #include<map> #include<set> #include<sstream> #include<cassert> #include<bitset> #include<unordered_map> using namespace std;typedef long long LL;typedef __int128 ll;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=2e3+100;const int mod=998244353;const int inv3=332748118;LL ans,not_ans,sumx[N<<1],sumy[N<<1];int n;inline int sgn(LL x){if(x==0)return 0;if(x < 0)return -1;else return 1; }struct Point{LL x,y;Point(){}Point(LL _x,LL _y){x = _x;y = _y;}void input(){scanf("%lld%lld",&x,&y);}bool operator == (Point b)const{return sgn(x-b.x) == 0 && sgn(y-b.y) == 0;}bool operator < (Point b)const{return sgn(x-b.x)== 0?sgn(y-b.y)<0:x<b.x;}Point operator -(const Point &b)const{return Point(x-b.x,y-b.y);}Point operator +(const Point &b)const{return Point(x+b.x,y+b.y);}//叉積ll operator ^(const Point &b)const{return (ll)x*b.y - (ll)y*b.x;}//點積ll operator *(const Point &b)const{return (ll)x*b.x + (ll)y*b.y;} }p[N],q[N<<1];inline int getxx(Point& a) {if(sgn(a.x)>0 && sgn(a.y)>=0) return 1;if(sgn(a.x)<=0 && sgn(a.y)>0) return 2;if(sgn(a.x)<0 && sgn(a.y)<=0) return 3;if(sgn(a.x)>=0 && sgn(a.y)<0) return 4; }bool cmp(Point a,Point b) {if(getxx(a)!=getxx(b))return getxx(a)<getxx(b);return sgn(a^b)>0; }void solve(int id) {for(int i=1,j=1;i<=n;i++)if(i!=id)q[j++]=p[i]-p[id];sort(q+1,q+n,cmp);int n=::n-1;for(int i=1;i<=n;i++)q[i+n]=q[i];for(int i=1;i<=n<<1;i++){sumx[i]=(sumx[i-1]+q[i].x)%mod;sumy[i]=(sumy[i-1]+q[i].y)%mod;}int j=1,k=1,l=1;//相同極角的點的位置，銳角極角的位置，鈍角極角的位置for(int i=1;i<=n;i++){while(j<i+n&&(q[i]^q[j])==0&&(q[i]*q[j])>0)j++;k=max(k,j);while(k<i+n&&(q[i]^q[k])>0&&(q[i]*q[k])>0)k++;l=max(l,k);while(l<i+n&&(q[i]^q[l])>0)l++;LL x1=(sumx[k-1]-sumx[j-1]+mod)%mod;LL y1=(sumy[k-1]-sumy[j-1]+mod)%mod;ans=(ans+((q[i].x%mod)*(y1)-(x1)*(q[i].y%mod))%mod+mod)%mod;LL x2=(sumx[l-1]-sumx[k-1]+mod)%mod;LL y2=(sumy[l-1]-sumy[k-1]+mod)%mod;not_ans=(not_ans+((q[i].x%mod)*(y2)-(x2)*(q[i].y%mod))%mod+mod)%mod;} }int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE // freopen("data.in.txt","r",stdin); // freopen("data.out.txt","w",stdout); #endif // ios::sync_with_stdio(false);int w;cin>>w;while(w--){ans=0,not_ans=0;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++)p[i].input();for(int i=1;i<=n;i++)solve(i);printf("%lld\n",(ans-not_ans+mod-not_ans+mod)%mod*inv3%mod);}return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的HihoCoder - 1879 Rikka with Triangles(极角排序求所有锐角三角形的面积)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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