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題目大意：給出一個長度為 n 的字符串，再給出 m 次詢問，每次詢問需要回答區間 [ l , r ] 內有多少個本質不同的字符串

題目分析：首先簡化模型，回顧一下如何求解 “區間內有多少個不同的數” ：SPOJ - DQUERY

求解上面那道題目的方法可謂是五花八門，我們采用其中一種離線的方式：先將所有的詢問儲存下來，按照右端點 r 排序后，每次對于重復出現的數字，用線段樹維護其最后一次出現的位置，那么答案就是 [ l , r ] 中元素的個數了

對于這個題目而言，將每個本質不同的字符串視為一個連續的區間 [ l , r?]，我們只需要維護左端點最后一次出現的位置即可

因為需要知道每個子串最后一次出現的位置，所以我們選擇對字符串構造后綴自動機，對于某個右端點 r 來說，對應到 SAM 上，從最長的那個前綴 [ 1 , r ] 對應的節點開始，沿著 parent 樹到根節點的這條路徑上，都是以 r 為右端點的子串，設 pre[ i ] 為節點 i 上一次出現時的右端點位置，我們只需要暴跳 father，每次將之前出現過的位置，在線段樹上區間更新成 -1 （因為對于每個節點來說，代表的都是一段連續的后綴，所以可以用到線段樹的區間更新），最后再將 [ 1 , r ] , [ 2 , r ] ... [ r , r ] 這 r 個后綴所代表的子串的左端點，即 [ 1 , r ] 在線段樹上 +1 就好了

不過問題是，這樣暴跳 father 的時間復雜度是不正確的，直接這樣實現在本題中只能得到 80 分，有一個測試點會超時

考慮優化，因為每次選擇一條鏈，自下而上去更新，其本質就是：

令這條鏈每個節點相應的位置在線段樹上區間更新

令每個節點都被端點 r 覆蓋（也就是將 pre 都標記為 r）

這個過程其實就是 LCT 中的 access 函數的操作，這樣每次更新至多需要更新?logn 個 splay，套上線段樹就是 log^2n，均攤下來就是 nlog^2n 了

因為在 SAM 自底向上的一條路徑上，其中任意連續的一段，所能表示的后綴也是連續的，所以在 LCT 的 splay 上只需要維護一下相應重鏈上最短的子串長度就好了

因為在本題中用不到 LCT 的 link、cut 等操作，所以將相應的一些基本函數都刪掉了，只保留了與 access 函數有關的一些基本函數

總時間復雜度是 O( nlog^2n + mlogn )

代碼：
?

//#pragma GCC optimize(2) //#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math") //#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx") #include<iostream> #include<cstdio> #include<string> #include<ctime> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #include<stack> #include<climits> #include<queue> #include<map> #include<set> #include<sstream> #include<cassert> #include<bitset> using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=1e6+100;char s[N];vector<pair<int,int>>q[N];LL ans[N];namespace Seg {struct Node{int l,r,len;LL sum,lazy;}tree[N<<2];void pushup(int k){tree[k].sum=tree[k<<1].sum+tree[k<<1|1].sum;}void pushdown(int k){if(tree[k].lazy){LL lz=tree[k].lazy;tree[k].lazy=0;tree[k<<1].sum+=tree[k<<1].len*lz;tree[k<<1|1].sum+=tree[k<<1|1].len*lz;tree[k<<1].lazy+=lz;tree[k<<1|1].lazy+=lz;}}void build(int k,int l,int r){tree[k].l=l;tree[k].r=r;tree[k].len=r-l+1;tree[k].sum=tree[k].lazy=0;if(l==r)return;int mid=l+r>>1;build(k<<1,l,mid);build(k<<1|1,mid+1,r);}void update(int k,int l,int r,LL val){if(tree[k].l>r||tree[k].r<l)return;if(tree[k].r<=r&&tree[k].l>=l){tree[k].sum+=tree[k].len*val;tree[k].lazy+=val;return;}pushdown(k);update(k<<1,l,r,val);update(k<<1|1,l,r,val);pushup(k);}LL query(int k,int l,int r){if(tree[k].l>r||tree[k].r<l)return 0;if(tree[k].l>=l&&tree[k].r<=r)return tree[k].sum;pushdown(k);return query(k<<1,l,r)+query(k<<1|1,l,r);} }namespace SAM {int tot,last,pos[N],pre[N];struct Node{int ch[26];int fa,len;}st[N<<1];inline int newnode(){tot++;for(int i=0;i<26;i++)st[tot].ch[i]=0;st[tot].fa=st[tot].len=0;return tot;}void add(int x){int p=last,np=last=newnode();st[np].len=st[p].len+1;while(p&&!st[p].ch[x])st[p].ch[x]=np,p=st[p].fa;if(!p)st[np].fa=1;else{int q=st[p].ch[x];if(st[p].len+1==st[q].len)st[np].fa=q;else{int nq=newnode();st[nq]=st[q]; st[nq].len=st[p].len+1;st[q].fa=st[np].fa=nq;while(p&&st[p].ch[x]==q)st[p].ch[x]=nq,p=st[p].fa;//向上把所有q都替換成nq}}}void init(){last=1;tot=0;newnode();}void build(){init();int len=strlen(s+1);for(int i=1;i<=len;i++){add(s[i]-'a');pos[i]=last;}} }namespace LCT {int fa[N],ch[N][2],pre[N],min_len[N],len[N],Stack[N],lazy[N],top;bool son(int x)//判斷點x是父節點的左兒子還是右兒子 {return x==ch[fa[x]][1];}bool isroot(int x)//判斷一個點是不是根節點（當前splay的根節點）{return ch[fa[x]][0]!=x&&ch[fa[x]][1]!=x;}void pushup(int x)//上傳(維護信息){min_len[x]=min(len[x],min(min_len[ch[x][0]],min_len[ch[x][1]]));}void update_lazy(int x,int lz){pre[x]=lazy[x]=lz;}void pushdown(int x)//下傳(更新反轉標記用){if(lazy[x]){update_lazy(ch[x][0],lazy[x]);update_lazy(ch[x][1],lazy[x]);lazy[x]=0;}}void rotate(int x)//splay的旋轉 {int y=fa[x],z=fa[y],c=son(x);ch[y][c]=ch[x][c^1];if(ch[y][c]) fa[ch[y][c]]=y;fa[x]=z;if(!isroot(y))ch[z][son(y)]=x;ch[x][c^1]=y;fa[y]=x;pushup(y);}void splay(int x)//將x轉到根節點 {Stack[top=1]=x;for (int i=x;!isroot(i);i=fa[i])Stack[++top]=fa[i];while (top) pushdown(Stack[top--]);for (int y=fa[x];!isroot(x);rotate(x),y=fa[x])if (!isroot(y)) son(x)^son(y)?rotate(x):rotate(y);pushup(x);}void access(int x,int id)//把x節點到x所在樹（連通塊）的根節點之間的路徑全部變成重路徑{int y;for(y=0;x;y=x,x=fa[x]){splay(x),ch[x][1]=y,pushup(x);if(pre[x])Seg::update(1,pre[x]-SAM::st[x].len+1,pre[x]-min_len[x]+1,-1);}splay(y);update_lazy(y,id);Seg::update(1,1,id,1);}void build(){min_len[0]=inf;for(int i=1;i<=SAM::tot;i++){fa[i]=SAM::st[i].fa;len[i]=min_len[i]=SAM::st[SAM::st[i].fa].len+1;lazy[i]=ch[i][0]=ch[i][1]=pre[i]=0;}} };int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE // freopen("data.in.txt","r",stdin); // freopen("data.out.txt","w",stdout); #endif // ios::sync_with_stdio(false);scanf("%s",s+1);int n=strlen(s+1);SAM::build();LCT::build();Seg::build(1,1,n);int m;scanf("%d",&m);for(int i=1;i<=m;i++){int l,r;scanf("%d%d",&l,&r);q[r].emplace_back(i,l);}for(int i=1;i<=n;i++){LCT::access(SAM::pos[i],i);for(auto it:q[i])ans[it.first]=Seg::query(1,it.second,i);}for(int i=1;i<=m;i++)printf("%lld\n",ans[i]);return 0; }

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的洛谷 - P6292 区间本质不同子串个数(SAM+LCT+线段树)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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