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題目大意：給出 n 個水杯，每個水杯最大容量為 $a_i$，每個水杯初始時有 $b_i$ 的水，兩個水杯之間可以互相倒水，不過每次會損失一半水量，更具體的說，假設第 $i$ 個水杯向第 $j$ 個水杯中倒 $x$ 單位的水（$x$可以為任意實數），那么操作之后兩個杯子中的水會變為：$b_i?x，b_j+\frac{x}{2}$，現在可以執行任意次數的倒水操作。

假設最終需要選則 $k$ 個杯子，使得其水量之和盡量大，問最大可以是多少

現在問選取 $k\in [1,n]$ 時的答案

題目分析：比賽的時候想到是 $dp$ 了，但是推出了一個帶有后效性的轉移，然后自己把自己給否定了，沒有繼續思考下去，有點可惜

先不考慮倒水操作，那么設 $d{p}_{i,j,k}$為前 $i$ 個杯子中，選擇了 $j$ 個杯子，杯子容量上限之和$(\sum a)$為 $k$ 時的最大水量之和$(\sum b)$，不難看出這是一個背包的變形，直接枚舉轉移即可，同時可以將第一維滾動進行，轉移方程如下：
$$d{p}_{i,j,k}=max\{\begin{array}{rlr}& d{p}_{i?1,j,k}& 不選擇第i項\\ & d{p}_{i?1,j?1,k?a_i}+b_i& 選擇第i項\end{array}$$

最后直接枚舉狀態維護最大值即可，假設初始時所有水量之和為 $sumb$ 現在需要選擇 $j$ 個杯子，且最大容量為 $k$ 時，此時的答案就是 $min(d{p}_{i,j,k}+\frac{sumb?d{p}_{i,j,k}}{2},k)$了，化簡一下，且內部同時乘以 $2$，則變成了 $min(d{p}_{i,j,k}+sumb,2?k)$，維護一下最大值就可以了

代碼：

// #pragma GCC optimize(2) // #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math") // #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx") #include<iostream> #include<cstdio> #include<string> #include<ctime> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #include<stack> #include<climits> #include<queue> #include<map> #include<set> #include<sstream> #include<cassert> #include<bitset> #include<unordered_map> using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=110;int a[N],b[N],dp[2][N][N*N];int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE// freopen("data.in.txt","r",stdin);// freopen("data.out.txt","w",stdout); #endif // ios::sync_with_stdio(false);int n,sa=0,sb=0;scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%d%d",a+i,b+i);sa+=a[i];sb+=b[i];}for(int j=0;j<=n;j++)for(int k=0;k<=sa;k++)dp[0][j][k]=-inf;dp[0][0][0]=0;int t=1;for(int i=1;i<=n;i++,t^=1){for(int j=0;j<=n;j++)//不選第i個杯子for(int k=0;k<=sa;k++)dp[t][j][k]=dp[t^1][j][k];for(int j=1;j<=n;j++)//選第i個杯子for(int k=a[i];k<=sa;k++)dp[t][j][k]=max(dp[t][j][k],dp[t^1][j-1][k-a[i]]+b[i]);}for(int i=1;i<=n;i++){int ans=0;for(int j=0;j<=sa;j++)ans=max(ans,min(2*j,dp[t^1][i][j]+sb));printf("%.10f ",ans/2.0);}puts("");return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的CodeForces - 1459D Glass Half Spilled(dp)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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