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題目大意：給出一個長度為 $n$ 的字符串，第 $i$ 個位置有 $p_i$ 的概率為 $O$，有 $1?p_i$ 的概率為 $X$，本題的貢獻指的是，連續 $O$ 的個數的平方，問貢獻的期望是多少

題目分析：如果按照正常思路不難想到一個 $n^2$ 的 $dp$，大概就是 $d{p}_{i,j}$ 表示到了第 $i$ 個位置結束，選還是不選第 $i$ 個位置的期望，轉移的話一層枚舉位置，另一層枚舉最后一個 $O$ 的長度即可，不過很可惜這個題沒法這樣去想

考慮平方展開，假設 $L$ 為原本的 $O$ 的長度，當 $L\to L+1$ 后，貢獻會增加：
$$\begin{array}{rl}& (L+1{)}^2?L^2\\ & =(L^2+2L+1)?L^2\\ & =2L+1\end{array}$$

如此一來我們就可以線性維護一下期望長度，利用期望長度來計算貢獻了

期望長度的線性轉移話可以參考概率 $dp$ 的入門題目：SDUT - 2623 The number of steps

假設到了第 $i?1$ 個位置的期望長度為 $len$，那么到了第 $i$ 個位置時只有兩種情況：

第 $i$ 個位置選擇 $O$ 與前面的 $O$ 連起來，期望長度變為 $len+1$，概率為 $p_i$

第 $i$ 個位置選擇 $X$ 與前面的 $O$ 斷開，期望長度為 $0$，概率為 $1?p_i$

而對于貢獻來說，我們只需要統計一下每次增加的就可以了

代碼：

// #pragma GCC optimize(2) // #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math") // #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx") #include<iostream> #include<cstdio> #include<string> #include<ctime> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #include<stack> #include<climits> #include<queue> #include<map> #include<set> #include<sstream> #include<cassert> #include<bitset> #include<unordered_map> using namespace std; typedef long long LL; typedef unsigned long long ull; template<typename T> inline void read(T &x) {T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f; } template<typename T> inline void write(T x) {if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0'); } const int inf=0x3f3f3f3f; const int N=1e6+100; char s[N]; int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE // freopen("data.in.txt","r",stdin); // freopen("data.out.txt","w",stdout); #endif // ios::sync_with_stdio(false);int n;read(n);double cur=0,ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){double p;cin>>p;ans+=(cur*2+1)*p;//到了第i-1個位置的期望長度為cur，如果當前位置為O的話貢獻會增加2*cur+1cur=(cur+1)*p+0*(1-p);//計算到了當前位置時的期望長度}printf("%.10f\n",ans);return 0; } 超強干貨來襲 云風專訪：近40年碼齡，通宵達旦的技術人生

總結

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