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題目大意：在 $n?m$ 的矩陣中，從點 $(0,0)$ 發射一個小球，以四十五度的方向出發，速度是 $\sqrt{2}$，當碰到壁時，會進行反射；當碰到底角時，會被吸收。現在給出 $k$ 次詢問，每次詢問需要回答點 $(x,y)$ 是在什么時間第一次到達，如果無法到達輸出 $?1$

題目分析：模擬也是可以做的，同樣也可以從數論的角度去思考

考慮將矩形進行平面無限展開后，每一個點 $(x,y)$ 都可以被表示為 $(2?n?k_1\pm x,2?m?k_2\pm y)$，其中 $k_1$ 表示的是穿過了多少條平行于 $x$ 軸的邊，$k_2$ 表示的是穿過了多少條平行于 $y$ 軸的邊，因為在本題中速度是 $45°$，所以最終 $x$ 和 $y$ 坐標在無限展開后一定是相等的，顯然有 $2?n?k_1\pm x=2?m?k_2\pm y$，移項得到 $2?n?k_1?2?m?k_2=\pm y?\pm x$

然后將 $(x,y)$ 分四種情況，分別用擴展歐幾里得求一下最小正整數解維護答案的最小值就好了

需要注意的是，當時間大于等于 $lcm(n,m)$ 后會被吸收，需要特判一下

代碼：

// #pragma GCC optimize(2) // #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math") // #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx") #include<iostream> #include<cstdio> #include<string> #include<ctime> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #include<stack> #include<climits> #include<queue> #include<map> #include<set> #include<sstream> #include<cassert> #include<bitset> #include<unordered_map> using namespace std; typedef long long LL; typedef unsigned long long ull; template<typename T> inline void read(T &x) {T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f; } template<typename T> inline void write(T x) {if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0'); } const int inf=0x3f3f3f3f; const int N=1e6+100; LL ans,limit; LL n,m,k; template<class T> void exgcd(T a,T b,T &d,T &x,T &y){if(!b) {d=a;x=1;y=0;}else {exgcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);} } //求解二元一次方程 a*x+b*y=c,一組解為x,y,無解則返回false template<class T> bool Solve_equation(T a,T b,T c,T &x,T& y){T gcd;exgcd(a,b,gcd,x,y);if(c%gcd) return false; //無解T k=c/gcd;x*=k;y*=k;T xplus=b/gcd,yplus=a/gcd; if(xplus<0) xplus*=-1;if(yplus<0) yplus*=-1;//此時求出的x,y即為一組解，該方程的通解形式為X=x+t*(b/gcd),Y=y-t*(a/gcd) t為任意正整數//根據題目要求我們需要構造特殊解x=(x%xplus+xplus)%xplus;y=(c-a*x)/b; //x的最小正整數解//y=(y%yplus+yplus)%yplus;x=(c-b*y)/b; //y的最小正整數解return true; } void solve(LL dx,LL dy) {LL k1,k2;if(!Solve_equation(2*n,-2*m,dy-dx,k1,k2)) return;LL res=2*n*k1+dx;if(res>=limit) return;if(ans==-1||res>=0&&ans>res) ans=res; } int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE // freopen("data.in.txt","r",stdin); // freopen("data.out.txt","w",stdout); #endif // ios::sync_with_stdio(false);read(n),read(m),read(k);limit=n*m/__gcd(n,m);while(k--){int x,y;read(x),read(y);ans=-1;solve(x,y),solve(x,-y),solve(-x,y),solve(-x,-y);write(ans),putchar('\n');}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的CodeForces - 724C Ray Tracing(扩展欧几里得解方程)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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