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題目大意：給出一個長度為 $n$ 的序列，現(xiàn)在要求找到一個 $seed$，使得所有數(shù)字變?yōu)?$a[i]=a[i]\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}seed$ 后兩兩互不相同，找到最小的 $seed$

題目分析：考慮轉(zhuǎn)換模型，如果存在著 $i$ 和 $j$ 使得 $a[i]\equiv a[j](\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}seed)$，那么肯定有 $a[i]+k?seed=a[j]$，其中 $k$ 為任意正整數(shù)，移項可得 $a[i]?a[j]\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}seed)$，到此模型轉(zhuǎn)換為尋找到最小的正整數(shù) $m$，其中不是任意一對 $|a[i]?a[j]|$ 的約數(shù)。

直接按照項數(shù)枚舉的話復雜度是 $n^2$ 級別的，觀察到值域是 $[0,500000]$ 的，即 $a[i],a[j]\in [0,500000]$，推得 $|a[i]?a[j]|\in [0,500000]$，因為本題中任意兩項的值都互不相等，所以可以從值域入手，判斷某個值是否存在，此時只需要枚舉答案 $seed$，就可以在 $O(nlogn)$ 的時間復雜度內(nèi)檢查答案是否合法。

我們將 $a[i]=x$ 轉(zhuǎn)換為 $P[x]=1$，令多項式 $\{P_0,P_1,...,P_{500000?1},P_{500000}\}$ 與 $\{P_0,P_{?1},...,P_{?(500000?1)},P_{?500000}\}$ 進行卷積，這樣對于其中的 $P[i]$ 和 $P[j]$，卷積后得到 $P[i+j]$，因為 $j$ （下標）是負數(shù)，所以自然得到了所有的 $P_{i?j}$

到此為止就可以用 ntt 或 fft 進行優(yōu)化了，不過多項式卷積不支持負數(shù)，所以需要給會出現(xiàn)負數(shù)的位置增加一個偏移量 $limit$，令第二個多項式變?yōu)?#xff1a;$\{P_{limit?0},P_{limit?1},...,P_{limit?(500000?1)},P_{limit?500000}\}$

因為 $|a[i]?a[j]|\in [0,500000]$，所以最后枚舉答案的范圍是 $[1,500001]$

代碼：

// Problem: Hash Function // Contest: NowCoder // URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11166/H // Memory Limit: 524288 MB // Time Limit: 4000 ms // // Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)// #pragma GCC optimize(2) // #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math") // #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx") #include<iostream> #include<cstdio> #include<string> #include<ctime> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #include<stack> #include<climits> #include<queue> #include<map> #include<set> #include<sstream> #include<cassert> #include<bitset> #include<list> #include<unordered_map> #include<complex> #define cp complex < double > #define lowbit(x) (x&-x) using namespace std; const double pi=acos(-1); typedef long long LL; typedef unsigned long long ull; template<typename T> inline void read(T &x) {T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f; } template<typename T> inline void write(T x) {if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0'); } const int inf=0x3f3f3f3f; const int N=1e6+100;int lena=0,lenb=0,n,res[N<<2];cp F[N<<2],G[N<<2],arr[N<<2],inv[N<<2];void init() {for (int i=0;i<n;i++){arr[i]=cp(cos(2*pi*i/n),sin(2*pi*i/n));inv[i]=conj(arr[i]);} } void FFT(cp *a,cp *arr) {int lim=0;while ((1<<lim)<n) lim++;for (int i=0;i<n;i++){int t=0;for (int j=0;j<lim;j++)if ((i>>j) & 1) t|=1<<(lim-j-1);if (i<t) swap(a[i],a[t]);}for (int l=2;l<=n;l*=2){int m=l/2;for (cp *buf=a;buf!=a+n;buf+=l)for (int i=0;i<m;i++){cp t=arr[n/l*i]*buf[i+m];buf[i+m]=buf[i]-t;buf[i]+=t;}} } int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE // freopen("data.in.txt","r",stdin); // freopen("data.out.txt","w",stdout); #endif // ios::sync_with_stdio(false);lena=lenb=500000;read(n);for(int i=1;i<=n;i++) {int x;read(x);F[x].real(1);G[500000-x].real(1);}n=1;while(n<(lena+lenb))n<<=1;init();FFT(F,arr);FFT(G,arr);for(int i=0;i<n;i++)F[i]*=G[i];FFT(F,inv);for(int i=0;i<n;i++)res[i]=floor(F[i].real()/n+0.5);for(int i=1;i<=500001;i++) {bool flag=true;for(int j=500000+i;j<=1000000;j+=i) {if(res[j]) {flag=false;break;}}if(flag) {return 0*printf("%d\n",i);}}return 0; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的2021牛客多校1 - Hash Function(思维+FFT)的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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