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題目大意：給出一個長度為 $n$ 的序列，求 $p_k={\sum }_{1\le i,j\le k}{a}_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_j$

題目分析：直接求解比較困難，需要對模型進行兩步轉換：

首先取模運算，$a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b$ 等價于 $x?x??\frac{y}{x}?$

其次給原式子中的 $i,j$ 規定一個先后順序，記 $s_k={\sum }_{1\le i,j\le k,i>j}{a}_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_j$，$t_k={\sum }_{1\le i,j\le k,i<j}{a}_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_j$，這樣 $p_k=s_k+t_k$

這里拿 $s_k$ 舉例說明如何求解，$t_k$ 類似

將式子化簡：
$$\begin{gathered} s_k={\sum }_{1\le i,j\le k,i>j}(a_i\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_j) \\ =s_{k?1}+{\sum }_{i<k}(a_k\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_i) \\ =s_{k?1}+{\sum }_{i<k}(a_k?a_i??\frac{a_k}{a_i}?) \\ =s_{k?1}+a_k?(k?1)?{\sum }_{i<k}(a_i??\frac{a_k}{a_i}?) \end{gathered}$$

現在問題是如何快速求解 ${\sum }_{i<k}(a_i??\frac{a_k}{a_i}?)$

需要注意到，題目中任意兩個數都是不同的，還需要注意到，向下取整運算是一個階段性運算，類似于整除分塊，即：

$a_k\in [a_i,2?a_i)$，貢獻為 $a_i$

$a_k\in [2?a_i,3?a_i)$，貢獻為 $2?a_i$

…

$a_k\in [t?a_i,(t+1)?a_i)$，貢獻為 $t?a_i$

這里可以暴力去枚舉每個區間，時間復雜度均攤是 $O(nlogn)$ 的，加上統計個數，可以再套一個樹狀數組，總復雜度就是 $O(nlo{g}^{2}n)$ 的

這個題目需要注意的是，求解 $s_k$ 和 $t_k$ 時，對于第 $k$ 個位置，樹狀數組 $A$ 是負責維護 $a_k$ 對區間 $[k+1,n]$ 的貢獻，樹狀數組 $B$ 是負責維護區間 $[1,k?1]$ 對 $a_k$ 的貢獻，分工不同，所以實現也略有不同。

代碼：

// Problem: F. Pairwise Modulo // Contest: Codeforces - Harbour.Space Scholarship Contest 2021-2022 (open for everyone, rated, Div. 1 + Div. 2) // URL: https://codeforces.com/contest/1553/problem/F // Memory Limit: 256 MB // Time Limit: 4000 ms // // Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)// #pragma GCC optimize(2) // #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math") // #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx") #include<iostream> #include<cstdio> #include<string> #include<ctime> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #include<stack> #include<climits> #include<queue> #include<map> #include<set> #include<sstream> #include<cassert> #include<bitset> #include<list> #include<unordered_map> #define lowbit(x) (x&-x) using namespace std; typedef long long LL; typedef unsigned long long ull; template<typename T> inline void read(T &x) {T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f; } template<typename T> inline void write(T x) {if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0'); } const int inf=0x3f3f3f3f; const int N=3e5+100; const int M=3e5; struct BIT {LL c[N];void add(int x,int val) {for(int i=x;i<=M;i+=lowbit(i)) {c[i]+=val;}}LL ask(int x) {LL ans=0;for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)) {ans+=c[i];}return ans;}LL ask(int l,int r) {return ask(r)-ask(l-1);} }A,B; int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE // freopen("data.in.txt","r",stdin); // freopen("data.out.txt","w",stdout); #endif // ios::sync_with_stdio(false);int n;read(n);LL ans=0,sum=0;for(int i=1;i<=n;i++) {int x;read(x);ans+=1LL*x*(i-1);ans+=sum;sum+=x;ans-=A.ask(x);for(int j=x;j<=M;j+=x) {int l=j,r=min(M,l+x-1);ans-=B.ask(l,r)*j;A.add(l,x);}B.add(x,1);printf("%lld ",ans);}return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的CodeForces - 1553F Pairwise Modulo(数论+树状数组)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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