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題目大意：給出二維平面上的 $n$ 個點，任意選擇出三個點可以構成一個三角形，現在問滿足下面條件的三角形的個數：

三角形面積為整數

三角形包含的（不包括邊界）整數點為奇數

其中所有坐標點的 $x$ 和 $y$ 都是偶數

題目分析：因為所有坐標點都是偶數，所以先猜一波任意三個點都是滿足第一個條件的，也就是圍成的三角形面積一定是偶數。

所以現在問題就轉換為了，如何求解滿足第二個條件的三角形的個數。賽中經隊友提醒，得知了“皮克定理”這一關鍵的結論，即 $S=a+\frac{b}{2}?1$，其中 $S$ 為三角形的面積，$a$ 為三角形內部的點數，$b$ 為三角形邊界上的點數。$b$ 非常好求，每條邊上的答案就是 $\gcd (dx,dy)+1$，放在三角形上就是 $\gcd (|x1?x2|,|y1?y2|)+\gcd (|x1?x3|,|y1?y3|)+\gcd (|x3?x2|,|y3?y2|)+3?3$，因為三個頂點分別計算了兩次，所以減去三之后就是這個答案了

皮克定理移項之后得到 $a=\frac{b}{2}?1?S$，如果 $a$ 想要為奇數，那么 $a+1=\frac{b}{2}?S$ 需要是偶數，因為上面已經保證了 $S$ 是偶數，所以現在只需要保證 $\frac{b}{2}$ 是偶數

所以問題轉換為了，有 $n$ 個點，任意兩個點之間的邊權為 $gcd(dx,dy)/2$，現在要求滿足條件的三元環個數，需要滿足三條邊權為：

奇數、奇數、偶數

偶數、偶數、偶數

然后到這里就尬住了，比賽時以為是什么典中典的三元環計數問題，就下班了

第二天看了題解發現，邊權和坐標有著密切的聯系，又因為每個點的坐標都是偶數，所以我們不妨一開始就將坐標除以二

然后我們就很神奇的發現，一共就只有四類點了，分別是 $x$ 和 $y$ 分別取 $0$ 或 $1$ 的時候。這是點權，邊權的話當且僅當 $x1==x2$ and $y1==y2$ 時，原先點的 $\gcd$ 才是偶數，其他情況都是奇數

從頭開始再推一遍，發現我們之前的得到的結論沒有變！所以 $n^3$ 去枚舉計數就好了

你說 $n=6000$？不不，現在的 $n$ 實質上只有 $4$ 種情況，用組合數學統計一下答案就好了

代碼：

// Problem: F1. Gregor and the Odd Cows (Easy) // Contest: Codeforces - Codeforces Round #736 (Div. 2) // URL: https://codeforces.com/contest/1549/problem/F1 // Memory Limit: 256 MB // Time Limit: 6000 ms // // Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)// #pragma GCC optimize(2) // #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math") // #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx") #include<iostream> #include<cstdio> #include<string> #include<ctime> #include<cmath> #include<cstring> #include<algorithm> #include<stack> #include<climits> #include<queue> #include<map> #include<set> #include<sstream> #include<cassert> #include<bitset> #include<list> #include<unordered_map> #define lowbit(x) (x&-x) using namespace std; typedef long long LL; typedef unsigned long long ull; template<typename T> inline void read(T &x) {T f=1;x=0;char ch=getchar();while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();x*=f; } template<typename T> inline void write(T x) {if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0'); } const int inf=0x3f3f3f3f; const int N=1e6+100; LL cnt[2][2]; LL C(int n,int m) {if(m==1) {return n;} else if(m==2) {return 1LL*n*(n-1)/2;} else if(m==3) {return 1LL*n*(n-1)*(n-2)/6;} } int cal(int x1,int y1,int x2,int y2) {if(x1==x2&&y1==y2) {return true;} else {return false;} } int main() { #ifndef ONLINE_JUDGE // freopen("data.in.txt","r",stdin); // freopen("data.out.txt","w",stdout); #endif // ios::sync_with_stdio(false);int n;read(n);for(int i=1;i<=n;i++) {int x,y;read(x),read(y);cnt[x%4/2][y%4/2]++;}LL ans=0;for(int s1=0;s1<4;s1++) {for(int s2=s1;s2<4;s2++) {for(int s3=s2;s3<4;s3++) {int x1=s1/2,y1=s1%2;int x2=s2/2,y2=s2%2;int x3=s3/2,y3=s3%2;int even=0;//2odds + 1even or 3 eveneven+=cal(x1,y1,x2,y2);even+=cal(x1,y1,x3,y3);even+=cal(x2,y2,x3,y3);if(even==2||even==0) {continue;}if(s1==s2&&s2==s3) {ans+=C(cnt[x1][y1],3);} else if(s1==s2) {ans+=C(cnt[x1][y1],2)*cnt[x3][y3];} else if(s2==s3) {ans+=C(cnt[x2][y2],2)*cnt[x1][y1];} else if(s1==s3) {ans+=C(cnt[x1][y1],2)*cnt[x2][y2];} else {ans+=cnt[x1][y1]*cnt[x2][y2]*cnt[x3][y3];}}}}cout<<ans<<endl;return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的CodeForces - 1549F1 Gregor and the Odd Cows (Easy)(几何+数论)的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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