如果$f$在$[a,b]$上是有界變差函數，即對于$[a,b]$的全部[分劃]都有$\sum|\Delta f_k|\leq M$,則$f$在$[a,b]$上是有界的，事實上對于$[a,b]$內的一切$x$都有
$$|f(x)|\leq |f(a)|+M$$


證明：很簡單.$\forall c\in [a,b]$,我們選取一個$[a,b]$的[分割]$P=\{x_0,\cdots,x_n\}$，使得$c\in P$.不妨設$c=x_i$,其中$0\leq i\leq n$.我們知道，
$$f(c)=f(x_i)=f(a)+\sum_{t=1}^{i}\Delta f_t$$
因此
$$|f(c)|=|f(a)+\sum_{t=1}^{i}\Delta f_t|\leq |f(a)|+\sum_{t=1}^i |\Delta f_t|\leq |f(a)|+M$$

注:實際上，更強的結論是$|f(x)-f(a)|\leq M$，這是很簡單的.

轉載于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2013/02/09/3827478.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学分析(Tom M.Apostol) 定理6.7的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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