[Unity] 3D数学基础 - 坐标系、向量、矩阵
一、坐標(biāo)系
模型坐標(biāo)系：
物體自身的坐標(biāo)系，只描述自身各個(gè)頂點(diǎn)的情況。
在3D模型坐標(biāo)系中，z方向前向如果是負(fù)值，我們稱為右手坐標(biāo)系，如果是正值，我們稱為左手坐標(biāo)系。在3DMax中使用了右手坐標(biāo)系，Unity使用了左手坐標(biāo)系。
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世界坐標(biāo)系：
系統(tǒng)的絕對(duì)坐標(biāo)系，在沒(méi)有建立用戶坐標(biāo)系之前畫(huà)面上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是以該坐標(biāo)系的原點(diǎn)來(lái)確定各自的位置的。
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攝像機(jī)坐標(biāo)系：
攝像機(jī)坐標(biāo)系是和觀察者密切相關(guān)的坐標(biāo)系。攝像機(jī)坐標(biāo)系和屏幕坐標(biāo)系相似，差別在于攝像機(jī)坐標(biāo)系處于3D空間中而屏幕坐標(biāo)系在2D平面里。攝像機(jī)坐標(biāo)系能被看做是一種特殊的“物體”坐標(biāo)系，該“物體”坐標(biāo)系就定義在攝像機(jī)的屏幕可視區(qū)域。攝像機(jī)坐標(biāo)系中，攝像機(jī)在原點(diǎn)，x軸向右，z軸向前（朝向屏幕內(nèi)或攝像機(jī)方向），y軸向上（不是世界的上方而是攝像機(jī)本身的上方）。
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屏幕坐標(biāo)系：
屏幕投影過(guò)后的坐標(biāo)系。它是一個(gè)2D的坐標(biāo)系。投影分為兩種，透視投影（近大遠(yuǎn)小）和正交投影（不管物體的遠(yuǎn)近，大小不變）。
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從以上四種坐標(biāo)系統(tǒng)來(lái)看，我們要演變它的過(guò)程到最后屏幕上我們能看到的畫(huà)面，需要經(jīng)過(guò)模型坐標(biāo)系、世界坐標(biāo)系、攝像機(jī)坐標(biāo)系，再投影到屏幕上的變換過(guò)程。
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二、 向量
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向量，就是有方向的量，只有方向和長(zhǎng)度，沒(méi)有位置信息。我們?cè)诳疾煜蛄繒r(shí)，總是以世界坐標(biāo)系的原點(diǎn)，向它所在的方向投射指定的長(zhǎng)度。
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2D向量： (x, y)
3D向量： (x, y, z)
4D向量： (x, y, z, w)
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存在4D向量主要是要和矩陣進(jìn)行計(jì)算。
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向量加法： 將向量的各項(xiàng)分別相加。
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V1 = (1, 0), V2 = (0.5, 0.5)
V3 = V1 + V2 = (1, 0) + (0.5, 0.5) = (1.5, 0.5)
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向量減法： 將向量的各項(xiàng)分別相減。
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V1 = (0.7, 1.5), V2 = (0.5, 0.5)
V3 = V1 + V2 = (0.7, 1.5) - (0.5, 0.5) = (0.2, 1.0)
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向量和標(biāo)量的乘法： 把標(biāo)量和向量中的每個(gè)分量分別相乘。
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V = (1, 2, 2), D = 2
R = V * D = 2 * (1, 2, 2) = (2, 4, 4)
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向量點(diǎn)積： 發(fā)生在向量和向量之間。點(diǎn)積的結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量值。
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V1 = (1, 0)
V2 = (0.5, 0.866)
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點(diǎn)積 = Dot(V1, V2) = V1 * V2 = (1, 0) * (0.5, 0.866) = (1*0.5 + 0*0.866) = 0.5
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向量點(diǎn)積的幾何意義：
Dot(V1, V2) = ||V1|| * ||V2|| * cos(ɑ)
cos(ɑ) = Dot(V1, V2) / (|V1|| * ||V2||)
當(dāng)V1和V2都是規(guī)范化向量時(shí)：
cos(ɑ) =V1*V2
ɑ = acos(V1*V2) = acos(0.5) = 60度
其實(shí)就是acos(點(diǎn)積)。
點(diǎn)積為1，角度為0度，點(diǎn)積為0，角度為90度。
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通過(guò)此性值，我們可以知道兩個(gè)向量的夾角是多大。一般的情況是，只要夾角小于90度，他們的點(diǎn)積總是>0，如果夾角剛好是90度，點(diǎn)積則=0，如果夾角大于90度，點(diǎn)積會(huì)是一個(gè)負(fù)數(shù)。
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向量叉積： 運(yùn)算結(jié)果還是一個(gè)向量。它的運(yùn)算法則是交叉相乘。
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V1 = (1, 0, 0)
V2 = (0, 1, 0)
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向量叉積的幾何意義
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兩個(gè)向量的叉積得到了新的向量，它垂直于原來(lái)的兩個(gè)向量所在平面。當(dāng)某個(gè)向量垂直于一個(gè)平面，可以看作這個(gè)平面的法向量。
叉積運(yùn)算是有順序的， V1 x V2 和 V2 x V1 的叉積值是不一樣的。順序不同，新的法向量的方向是相反的。
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三、矩陣
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矩陣的維度和記法
矩陣是一個(gè)類(lèi)似于二維數(shù)組的東西，但在數(shù)學(xué)概念上是完全不一樣的。矩陣的下標(biāo)是(1, 1)開(kāi)始，數(shù)組是(0, 0)開(kāi)始。在數(shù)學(xué)上，我們一般用大寫(xiě)的M來(lái)表示矩陣。
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矩陣的轉(zhuǎn)置
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矩陣的轉(zhuǎn)置就是把矩陣的行變成列。比如把第一行變成第一列，第二行變成第二列。
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向量也可以看作一種矩陣。有時(shí)候我們會(huì)說(shuō)行向量、列行量，其實(shí)我們是以矩陣的概念來(lái)看它。
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矩陣和標(biāo)量的乘法
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一個(gè)矩陣和標(biāo)量相乘，就是用標(biāo)量與矩陣每一個(gè)元素依次相乘。得到的矩陣與原矩陣的維度是一樣的。
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矩陣和矩陣的乘法
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用第一個(gè)矩陣的第一行的每個(gè)分量，與第二個(gè)矩陣的第一列的分量相乘，將結(jié)果相加，得到新的分量。
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矩陣與矩陣相乘，其結(jié)果與兩個(gè)矩陣的順序是有關(guān)的，不同的順序，結(jié)果是不一樣的。
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兩個(gè)內(nèi)部維度不同的矩陣是不能夠相乘的。
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一個(gè) N * M階與S * T階矩陣相乘，必須滿足 M和S維度相同，乘法結(jié)果是一個(gè)N * T階矩陣。
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一個(gè)列向量是不能與一個(gè)3x3矩陣相乘的，但一個(gè)3x3 矩陣可以乘以一個(gè)列向量。
一個(gè)行向量可以與一個(gè)3x3矩陣相乘。
一個(gè)行向量乘以一個(gè)3x3矩陣，結(jié)果與一個(gè)相同的3x3矩陣轉(zhuǎn)置后乘以相同的行向量一樣，結(jié)果是一個(gè)向量（但一個(gè)是行向量，一個(gè)是列向量）。
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單位矩陣
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在矩陣中，從左上角到右下角這樣的一條線我們稱為主對(duì)角線。在主對(duì)角線上所有元素的值都是1，其它元素為0的矩陣，我們稱為單位矩陣。
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單位矩陣A乘以另一個(gè)矩陣B，結(jié)果矩陣為B。也就是說(shuō)單位矩陣乘以一個(gè)矩陣，它不會(huì)改變這個(gè)矩陣的元素。
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轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/yangyxd/articles/5408441.html
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的[Unity] 3D数学基础 - 坐标系、向量、矩阵的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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