Miller-Rabin & Pollard-rho

很久之前就學過了...今天重學一遍

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利用費馬小定理，但不能判斷偽素數的情況
基于a的偽素數n：
\(a^{n-1} \equiv 1 \pmod n\)
如果對于所有與n互質的數都成立，則n為Carmichael數

定理：
對于質數\(p\)和\(e \ge 1\)
\[ x^2 \equiv 1 \pmod p^e \]
只有兩個解\(x=1,\ x=-1\)

分解\(n=u*2^t\),反復平方的時候如果存在非平凡平方根則不是質數
可以證明Carmicheal數一定不是\(p^e\)

Pollard-rho啟發式因子分解期望\(O(\sqrt{p})\)找到一個為p的質因子

快速乘要用long double黑科技

#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long ll; inline ll read(){char c=getchar();ll x=0,f=1;while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}return x*f; } ll n; ll Mul(ll a, ll b, ll P) {ll t = (a*b - (ll)((long double)a/P*b+1e-8)*P); return t<0 ? t+P : t; } ll Pow(ll a, ll b, ll P) {ll ans=1; a%=P;for(; b; b>>=1, a=Mul(a, a, P))if(b&1) ans=Mul(ans, a, P);return ans; } bool witness(ll a, ll n, ll u, int t) { ll x=Pow(a, u, n), y=x;for(int i=1; i<=t; i++) { x=Mul(x, x, n);if(x==1 && y!=1 && y!=n-1) return true;y=x;}return x!=1; } bool MillerRabin(ll n) { if(n==2) return true;if(n<=1 || !(n&1)) return false;ll u=n-1, t=0;while(!(u&1)) u>>=1, t++;for(int i=1; i<=10; i++) if(witness(rand()%(n-1)+1, n, u, t)) return false;return true; } ll gcd(ll a, ll b) {return b==0?a:gcd(b, a%b);} ll rho(ll n, ll c) {int k=2; ll x=rand()%n, y=x, d=1;for(int i=1; d==1; i++) {x=(Mul(x,x,n)+c)%n;d=gcd(n, y>x?y-x:x-y);if(i==k) y=x, k<<=1;}return d; } ll Max; void solve(ll n) { if(n==1) return;if(MillerRabin(n)) {Max=max(Max, n); return;}ll t=n;while(t==n) t=rho(n, rand()%(n-1)+1);solve(t); solve(n/t); }int main() {freopen("in","r",stdin);srand(317);int T=read();while(T--) {n=read();Max=0;solve(n);if(Max==n) puts("Prime");else printf("%lld\n",Max);} } 超強干貨來襲 云風專訪：近40年碼齡，通宵達旦的技術人生

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[Miller-Rabin Pollard-rho]【学习笔记】的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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