你的背包 背到現在還沒爛
卻成為我身體另一半
千金不換 它已熟悉我的汗
它是我肩膀上的指環......

剛學的背包入門問題：

0-1背包問題：有n種物品，每種只有一個，第i種物品的體積V[i]，重量W[i]。選一些物品撞到一個容量為C的背包，使得背包內物體在總體積不超過C的前提下重量盡量大。

用s[i][j]表示把前i個物品撞到容量為j的背包中的最大總重量，容易得出狀態轉移方程.

1、假如不放入，那么總價值等于s[i-1][j]； 2、假如放入，那么容積j可以看成兩部分： 第一部分的容積是j-V[i] ，用于裝前i-1件物品； 第二部分的容積是V[i]，用于裝第i件物品； 此時的總價值是s[i-1][j-V[i]] + w[i]； 3、s[i][j]的值就是上面兩種情況中較大的那一個.

s[i][j] = max(s[i-1][j], s[i-1][j-V[i]] + W[i]), 答案就是s[n][C]

1 for (i = 1; i <= n; ++i) 2 { 3 for (j = 0; j < V[i]; ++j) 4 s[i][j] = s[i-1][j]; 5 for (j = V[i]; j <= C; ++j) 6 s[i][j] = max(s[i-1][j], s[i-1][j-V[i]] + W[i]); 7 }

用滾動數組優化可以把數組s變成一維的

1 memset(f, 0, sizeof(f)); 2 for (i = 1; i <= n; ++i) 3 { 4 for (j = C; j >= 0; --j) 5 s[j] = max{s[j], s[j-V[i]]+W[i]}; 6 }

?關于初始化的問題：

我們看到的求最優解的背包問題題目中，事實上有兩種不太相同的問法。有的題目要求“恰好裝滿背包”時的最優解，有的題目則并沒有要求必須把背包裝滿。一種區別這兩種問法的實現方法是在初始化的時候有所不同。

如果是第一種問法，要求恰好裝滿背包，那么在初始化時除了f[0]為0其它f[1..V]均設為-∞，這樣就可以保證最終得到的f[N]是一種恰好裝滿背包的最優解。

如果并沒有要求必須把背包裝滿，而是只希望價格盡量大，初始化時應該將f[0..V]全部設為0。

為什么呢？可以這樣理解：初始化的f數組事實上就是在沒有任何物品可以放入背包時的合法狀態。如果要求背包恰好裝滿，那么此時只有容量為0的背包可能被價值為0的nothing“恰好裝滿”，其它容量的背包均沒有合法的解，屬于未定義的狀態，它們的值就都應該是-∞了。如果背包并非必須被裝滿，那么任何容量的背包都有一個合法解“什么都不裝”，這個解的價值為0，所以初始時狀態的值也就全部為0了。

這個小技巧完全可以推廣到其它類型的背包問題，后面也就不再對進行狀態轉移之前的初始化進行講解。

一個常數優化

前面的偽代碼中有 for v=V..1，可以將這個循環的下限進行改進。

由于只需要最后f[v]的值，倒推前一個物品，其實只要知道f[v-w[n]]即可。以此類推，對以第j個背包，其實只需要知道到f[v-sum{w[j..n]}]即可，即代碼中的

for i=1..N for v=V..0

可以改成

for i=1..n bound=max{V-sum{w[i..n]},c[i]} for v=V..bound

這對于V比較大時是有用的。

轉載于:https://www.cnblogs.com/PegasusWang/archive/2013/01/22/2871284.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的0-1背包（及初始化问题）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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