對于數值線性代數（Numerical Linear Algebra，簡稱NLA）來說有三個最重要的問題：線性方程組，線性擬合和特征值計算。從這個觀點來看，NLA的問題
也不是特別的多。但是NLA的復雜性存在于兩個方面，一個存在于計算工具上，另一個存在于要處理的問題本身。對于第一個問題，由于使用計算機進行數值運算，不可避免
的會產生精度的問題，所以為了避免精度問題和合理的量化精度產生的影響，NLA會變得非常復雜，對于每一個算法，都會存在對這個算法的分析，現在我個人理解就是擾動
分析。對于每個問題本身，由于矩陣會存在不同的結構，為了利用這些結構的特性，針對每一個結構都會有特定的算法來提高解決問題的速度，這樣就會使得同一個問題存在
多個可用的算法，需要使用者針對問題本身做出選擇。

對于NLA來說，可以利用的結果包括對稱，帶狀，對角和三角（包括上三角和下三角）。另外一個常用的處理方式就是矩陣分塊，使用矩陣分塊，利用程序的局部性提升
計算的性能。

對于如何解決這個問題，有一個paper可以很好的說明這一點（The Decompositional Approach to Matrix Computation）。
在這篇文章中作者之處為了解決現在的問題，我們是先通過矩陣分解（Matrix Decomposition），然后利用分解后的矩陣來解決這些問題的。現在最廣泛流傳的矩陣分解包括LU，
Pivoted LU，LDL，Cholsky，QR，Schur，SVD，Spectral等分解。學習NLA，很大一部分就是在學習如何進行矩陣分解以及如何使用分解來解決問題。

從另外一個角度來看，使用矩陣分解解決問題屬于直接方法（Direct Method）。與之相對應的存在另外一種解決問題的方法，稱之為迭代式方法（Iterative Method）。
兩種方法各有利弊，在不用的場景下有不同的用途。對于迭代式方法，比較出名的有Keylov subspace mehtod, 共軛梯度法（Conjugate Gradient）。

將會在接下來的blog中詳細解釋主要的矩陣分解方法和迭代式方法。

轉載于:https://www.cnblogs.com/lacozhang/p/3655537.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数值线性代数小结的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。