? ? ?任務：給定一個十進制的正整數，寫下從1開始，到N的所有整數，然后數一下其中出現“1”的個數。

? ? ?要求： 寫一個函數 f(N) ，返回1 到 N 之間出現的 “1”的個數。例如 f(12) = 5。

? ? ? ? ? ? ? ?在32位整數范圍內，滿足條件的“f(N) =N”的最大的N是多少。

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1.設計思想：因為上課很多同學都給出了一個一個數地求出所出現的1，最多每個數也就求5、6次，但是所給的整數很大的時候計算機會一下循環遞歸N次來計算1的次數，這樣會導致效率非常低。我們都知道每個位數上都有一定的規律，每一位上出現1的次數都和其前一位和后一位以及當前位上的數字有關系，所以得通過大量的數據一位一位的進行分析，進而找到每個數的規律。

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通過對1位數、2位數、3位數，，，進行分析統計，發現如果當前位上的數字為0，1，大于等于1時有不同的情況；則此位上出現的1的次數分別會由更高位數上、更低位或者當前位的數字決定，具體如下：

假設一個數為abcde

如果百位上數字c為0，百位上可能出現1的次數由更高位決定。比如：33033，則可以知道百位出現1的情況可能是：100~199，1100~1199,2100~2199，，.........，32100~32199，一共3300個。可以看出是由更高位數字（12）決定，并且等于更高位數字（ab）乘以 當前位數（100）。

如果百位上數字為1，百位上可能出現1的次數不僅受更高位影響還受低位影響。比如：33133，則可以知道百位受高位影響出現的情況是：100~199，1100~1199,2100~2199，，.........，32100~32199，一共3300個。和上面情況一樣，并且等于更高位數字（ab）乘以 當前位數（100）。但同時它還受低位影響，百位出現1的情況是：33100~33133,一共134個，等于低位數字（cde）+1。

如果百位上數字大于1（2~9），則百位上出現1的情況僅由更高位決定，比如12213，則百位出現1的情況是：100~199,1100~1199，2100~2199，...........，11100~11199,12100~12199,一共有1300個，并且等于更高位數字+1（ab+1）乘以當前位數（100）。

除了百位上其他位數也都符合這個規律，所以只需要循環整數的位數次就可以求出最終的結果。

然后第二步實現的時候，開始以為只需要一個循環就行了，讓計算機循環。不過由于基數太大所以會用很長時間

將要計算的范圍劃分為幾個區間，然后對每個區間進行計算。比如說：

1到999，先將這些數劃分為10個區間：1-99、100-199 … 900-999

由f(999) = 300可知，300以后的區間段可以不計算。當計算200時，可以先計算299，由于f(299)=160<200，200-299的區間可以都不必計算。對要計算的區間，再將它劃分為10個區間，重復進行。這樣劃分的另一個好處是利用公式：f(10^n-1) ＝ n * 10^(n-1)，保存上次算得的f(n)直接計算下個數的f(n)。

2.源代碼：

#include<iostream> using namespace std;int Count(int n){int count = 0;//1的個數int CurrentPosition = 1;//當前位int LowerNum = 0;//低位數字int CurrNum = 0;//當前位數字int HigherNum = 0;//高位數字while(n / CurrentPosition != 0){LowerNum = n - (n / CurrentPosition) * CurrentPosition;//低位數字 CurrNum = (n / CurrentPosition) % 10;//當前位數字 HigherNum = n / (CurrentPosition * 10);//高位數字if(CurrNum == 0)//如果為0,出現1的次數由高位決定 {count += HigherNum * CurrentPosition;//等于高位數字 * 當前位數 }else if(CurrNum == 1)//如果為1,出現1的次數由高位和低位決定 {count += HigherNum * CurrentPosition + LowerNum + 1;//高位數字 * 當前位數 + 低位數字 + 1 }else//如果大于1,出現1的次數由高位決定 {count += (HigherNum + 1) * CurrentPosition;//（高位數字+1）* 當前位數 }CurrentPosition *= 10;//前移一位 }return count; }void main() {int a;cout << "請輸入一個正整數：";cin >> a;cout << a;cout << "從1到該數字出現的1的次數為：" << Count(a) << endl;for (int i = 0; i < 4294967295 ; i++){if( Count(i) == i){cout << i << " ";}} }

改進之后：

#include<iostream> using namespace std;int Count(int n){int count = 0;//1的個數int CurrentPosition = 1;//當前位int LowerNum = 0;//低位數字int CurrNum = 0;//當前位數字int HigherNum = 0;//高位數字while(n / CurrentPosition != 0){LowerNum = n - (n / CurrentPosition) * CurrentPosition;//低位數字 CurrNum = (n / CurrentPosition) % 10;//當前位數字 HigherNum = n / (CurrentPosition * 10);//高位數字if(CurrNum == 0)//如果為0,出現1的次數由高位決定 {count += HigherNum * CurrentPosition;//等于高位數字 * 當前位數 }else if(CurrNum == 1)//如果為1,出現1的次數由高位和低位決定 {count += HigherNum * CurrentPosition + LowerNum + 1;//高位數字 * 當前位數 + 低位數字 + 1 }else//如果大于1,出現1的次數由高位決定 {count += (HigherNum + 1) * CurrentPosition;//（高位數字+1）* 當前位數 }CurrentPosition *= 10;//前移一位 }return count; }inline unsigned count_digits(unsigned long long num) {unsigned long long n = 1;unsigned ret = 0;while (n <= num) { n *= 10; ++ret; }return ret; }void get_nums() {unsigned long long x = 1e11 - 1, y;unsigned count = 0;unsigned idx = 0;while (true){++count;y = Count(x);if (x < y) {//x在1到10時，均不滿足x<y,所以x>10，下面的k值肯定大于0 unsigned k = count_digits(x) - 1;x -= (y - x - 1)/k + 1; }else if (x > y) { x = y; } else{cout<< ++idx << ": " << x << endl;//break;--x;if (x == 0) break;} } }void main() {int a;cout << "請輸入一個正整數：";cin >> a;cout << a;cout << "從1到該數字出現的1的次數為：" << Count(a) << endl;cout << "整數與次數相同的有以下這些，最大值為第一個數：";get_nums(); }

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3.實驗截圖：

4.實驗總結：

? ? （1）這個題目跟之前的同樣是數學題類型的程序，需要利用大量的來分析統計，從中得出規律，否則就失去了編程的高效性；

? ? （2）而當完成第一步之后以為第二步很簡單，其實不然。感覺當時一定是被成功的喜悅蒙蔽了雙眼，只是看它一直在滾動數字，而且也得出了最后的結果，然而卻沒想到效率的問題，之才發現第二步的設計也包含了好多規律，所以一定要從頭到尾保持清醒的頭腦。

轉載于:https://www.cnblogs.com/mengxiangjialzh/p/4548613.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的Task 10 统计从1到某个整数之间出现的1的次数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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