關于floyd算法

算法簡介

實現思想

核心代碼

后記

一、floyd簡介
引自百度百科

在計算機科學中，Floyd-Warshall算法是一種在具有正或負邊緣權重（但沒有負周期）的加權圖中找到最短路徑的算法。算法的單個執行將找到所有頂點對之間的最短路徑的長度（加權）。 雖然它不返回路徑本身的細節，但是可以通過對算法的簡單修改來重建路徑。 該算法的版本也可用于查找關系R的傳遞閉包，或（與Schulze投票系統相關）在加權圖中所有頂點對之間的最寬路徑。

是不是覺得很高深？沒錯，這段介紹并沒有什么多大的用。

換而言之
floyd就是一種求最短路的算法，最基礎的算法
優點： 代碼簡短，易于理解，可用于負邊權，可求所有點之間的距離
缺點： 時間復雜度爆炸

實現思想
其實floyd是利用dp的思想實現的，不斷尋找中間點求最優解

枚舉起始點，中點和終點，利用中點不斷對不同的起點終點進行松弛操作，
更新任意兩點之間的最優子答案，最后得到最優解

核心代碼

for(int k=1;k<=n;k++)//枚舉中點 {for(int i=1;i<=n;i++)//枚舉起點 {for(int j=1;j<=n;j++)//枚舉終點 {if(i!=j&&i!=k&&j!=k) //三點不是相同的點時dis[i][j]=min(dis[i][k]+dis[k][j],dis[i][j]);//利用中點進行松弛操作}} }

是不是很easy？

當然并不是

你是否發現，或者有疑問，floyd的操作，如何能保證能得到最優解，而不是被埋沒在次優解里，
或者說你疑問為什么最外層循環是枚舉k，因為這樣才能保證這個算法的正確性

還記得開始的介紹的實現思想么
沒錯，動態規劃
我們設$dis[k][i][j]$ 表示$i$和$j$之間可以通過編號為1…k的節點的最短路徑。
那么則$dis[k][i][j]可以從dis[k?1][i][j]$轉移來，表示$i$到$j$不經過$k$這個節點。
也可以從$dis[k?1][i][k]+dis[k?1][k][j]$ 轉移過來，表示經過k這個點。
意思即$dis[k][i][j]=min(dis[k?1][i][j],dis[k?1][i][k]+dis[k?1][k][j])$
然后我們能發現我們能dis的第一維k是可以省略的，因為k只和k-1有關（就和背包問題中0/1背包和完全背包的一維優化一個原理）

所以當前的$dis[i][j]$ 都應該是完成上一層動態規劃的，如果k不是在最外層，那么$dis[i][j]$ 就不是完成上一層動態規劃的后的狀態，有可能有的點沒有經過k-1這個點的松弛。

所以k要放在最外面

floyd雖然是最短路算法中最簡單基礎的一個，但永遠不要小看任何一個算法，每種算法都有著自己的智慧

轉載于:https://www.cnblogs.com/stargazer-cyk/p/10366536.html

超強干貨來襲 云風專訪：近40年碼齡，通宵達旦的技術人生

總結

以上是生活随笔為你收集整理的最短路最基本算法———Floyd算法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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