在數(shù)軸上找一點(diǎn)使得該點(diǎn)到所有其他點(diǎn)的距離之和最小

方法：找到大小為中位數(shù)的點(diǎn)，該點(diǎn)就是要求的點(diǎn)（如有兩個(gè)取之間任意一點(diǎn)都行）

證明：

　　先看看當(dāng)只有2個(gè)點(diǎn)時(shí)的情況：

　

　　分類討論：

　　如果在A的左邊(如 $P_1$ )，距離之和( $sum$ )為：$dis(P_1,A)+dis(P_1,B)=dis(P_1,A)+dis(P_1,A)+dis(A,B)$

　　( $dis(a,b)$ 為 $a$ 到 $b$ 的距離)

　　如果在 $A$ 和 $B$ 的中間（包括 $A,B$）： $sum=dis(P_2,A)+dis(P_2,B)=dis(A,B)$

　　如果在右邊： $sum=dis(P_3,A)+dis(P_3,B)=dis(A,B)+dis(P_3,B)+dis(P_3,B)$

　　顯然在 $A$ 和 $B$ 中間時(shí)距離之和最小。

　　那對(duì)于 $3$ 個(gè)點(diǎn)時(shí)呢：

　　設(shè)中間的點(diǎn)為 $C$ ，旁邊的為 $A,B$

　　一個(gè)點(diǎn) $P$ 到各個(gè)點(diǎn)的距離之和為： $dis(A,P)+dis(B,P)+dis(C,P)=(dis(A,P)+dis(B,P))+dis(C,P)$

　　如果在能夠滿足 $dis(A,P)+dis(B,P)$ 最小的情況下還能滿足 $dis(C,P)$ 最小，那么就一定是最優(yōu)的方案

　　顯然 當(dāng) $P$ 在 $A,B$ 中間時(shí)滿足 $dis(A,P)+dis(B,P)$ 最小，

　　又因?yàn)?點(diǎn) $C$ 在 $A,B$ 中，所以當(dāng)點(diǎn) $P$ 和點(diǎn) $C$ 重合時(shí)不僅 $dis(C,P)=0$ 最小，而且 $dis(A,P)+dis(B,P)$ 最小

　　所以取中間的點(diǎn)C是最優(yōu)的方案。

　　對(duì)于4個(gè)點(diǎn)時(shí)：

　　同樣的思路：

　　設(shè)中間的點(diǎn)為 $C,D$，旁邊的為 $A,B$

　　如果能滿足在 $A,B$ 中間能找到一個(gè)點(diǎn) $P$?使得 $P$ 到 $C,D$ 的距離之和最小

　　那么 $P$ 就是最優(yōu)方案（因?yàn)橐呀?jīng)滿足 $P$ 到 $A,B$ 的距離之和最小了...）

　　由前面可知，當(dāng) $P$ 在 $C,D$ 中間時(shí) $P$ 到 $C,D$ 的距離之和最小，并且因?yàn)?$C,D$ 又在 $A,B$ 中間

　　所以當(dāng) $P$在 $C,D$ 中間時(shí)，$P$ 到各點(diǎn)的距離最小。

?

　　那么對(duì)于多個(gè)點(diǎn)時(shí)：

　　首先找到最外面的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn) $P$ 要在它們之間

　　然后在找次外面的點(diǎn)，點(diǎn) $P$ 也要在它們之間

　　......

　　一直找到只剩 $1$ 或 $2$ 個(gè)點(diǎn)

　　如果只剩一個(gè)點(diǎn)，那么最優(yōu)方案就是 $P$ 取這個(gè)點(diǎn)

　　否則 $P$ 可以取兩個(gè)點(diǎn)之間的任意位置

　　這樣就可以保證方案最優(yōu)

　　?即：找到大小為中位數(shù)的點(diǎn)（如有兩個(gè)取之間任意一點(diǎn)都行）

?證明完畢.

　　

?

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的关于货仓选址问题的方法及证明（在数轴上找一点使得该点到所有其他点的距离之和最小）...的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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