游戏设计中的算法题——计算宝物升级所需的资源数
當今社會，智能手機的飛速發展。使得可以做到人手一部智能手機。而各種應用層出不窮。
手游（手機游戲）的出現，滿足了人們對打發碎片時間的需求。
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而在游戲中，寶物升級是最常見的劇情元素之一。而優秀的游戲設計師，在設計寶物升級系統時，要難易適中，要能把用戶黏合在自己的游戲中，既不能太難，也不能太簡單。那么如何設計寶物升級中的各項參數就是重中之重。
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本文重點介紹，給定寶物的設計系統的各項參數，計算寶物升級所需的資源數。
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問題：
某寶物初始是0級，現在要升級
從0級升到1級，所需的資源數為1，成功概率為90%，成功升1級，失敗還是0級；
從1級升到2級，所需的資源數為2，成功概率為80%，成功升1級，失敗降1級，降為0級；
從2級升到3級，所需的資源數為3，成功概率為70%，成功升1級，失敗降1級，降為1級；
從3級升到4級，所需的資源數為4，成功概率為60%，成功升1級，失敗降1級，降為2級；
從4級升到5級，所需的資源數為5，成功概率為50%，成功升1級，失敗降1級，降為3級；
問：某寶物從0級升級到5級，所需要的資源數平均是多少？
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定義一個函數F（N，M），M≥N。表示該寶物從N級升級到M級所需的平均資源數。本題中就是計算F（0，5）
很明顯
F（N，N）=0；即F（0，0）=0，F（1，1）=0
F（N，M）=F（N，K）+F（K，M），N≤K≤M，F（0，4）=F（0，2）+F（2，4），即F（2，4）=F（0，4）-F（0，2）
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用簡便表示函數F（N），即F（N）=F（0，N），那么本題就是計算F（5）
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定義PN，為從N-1級升到N級的成功的概率
本題中，P1=0.9，P2=0.8，P3=0.7，P4=0.6，P5=0.5
定義LN，為從N-1級升到N級所需的資源數
本題中，N1=1，N2=2，N3=3，N4=4，N5=5
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言歸正傳，下面分析如何計算F（N）
先分析F（1）
從0級升到1級，所需的資源數為L1。其中（1-P1）的會失敗，還是停留在0級，這些還是需要從0級升到1級。那么，就有個分析公式
F（1）=L1+（1-P1）×F（1）
F（1）=L1÷P1=1÷0.9=1.111
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再分析F（2）
從1級升到2級，所需的資源數為L2。其中（1-P2）的會失敗，降級到0級，這些還是需要從0級升到2級。那么，就有個分析公式
F（2）=F（1）+L2+（1-P2）×F（2）
F（2）=（F（1）+L2）÷P2=（1.111+2）÷0.8=3.889
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再分析F（3）
從2級升到3級，所需的資源數為L3。其中（1-P3）的會失敗，降級到1級，這些還是需要從1級升到3級。那么，就有個分析公式
F（3）=F（2）+L3+（1-P3）×F（1，3）
F（3）=F（2）+L3+（1-P3）×（F（3）-F（1））
F（3）=（F（2）+L3-（1-P3）×F（1））÷P3
F（3）=（3.889+3-（1-0.7）×1.111）÷0.7=9.365
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再分析F（4）
從3級升到4級，所需的資源數為L4。其中（1-P4）的會失敗，降級到2級，這些還是需要從2級升到4級。那么，就有個分析公式
F（4）=F（3）+L4+（1-P4）×F（2，4）
F（4）=F（3）+L4+（1-P4）×（F（4）-F（2））
F（4）=（F（3）+L4-（1-P4）×F（2））÷P4
F（4）=（9.365+4-（1-0.6）×3.889）÷0.6=19.682
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再分析F（5）
從4級升到5級，所需的資源數為L5。其中（1-P5）的會失敗，降級到3級，這些還是需要從3級升到5級。那么，就有個分析公式
F（5）=F（4）+L5+（1-P5）×F（3，5）
F（5）=F（4）+L5+（1-P5）×（F（5）-F（3））
F（5）=（F（4）+L5-（1-P5）×F（3））÷P5
F（5）=（19.682+5-（1-0.5）×9.365）÷0.5=39.999
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結論是
從0級升到1級，平均所需的資源數為P（1）=1.111
從0級升到2級，平均所需的資源數為P（2）=3.889
從0級升到3級，平均所需的資源數為P（3）=9.365
從0級升到4級，平均所需的資源數為P（4）=19.682
從0級升到5級，平均所需的資源數為P（5）=39.999
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下面是通過計算機模擬寶物升級的過程，并做了統計，再求平均數。一共做了五組，每組1000000次。
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| ? | 理論值 | 第1組 | 第2組 | 第3組 | 第4組 | 第5組 |
| P（1） | 1.111 | 1.111 | 1.111 | 1.111 | 1.111 | 1.111 |
| P（2） | 3.889 | 3.889 | 3.890 | 3.890 | 3.889 | 3.889 |
| P（3） | 9.365 | 9.367 | 9.365 | 9.368 | 9.363 | 9.364 |
| P（4） | 19.682 | 19.685 | 19.690 | 19.692 | 19.681 | 19.682 |
| P（5） | 39.999 | 40.000 | 40.002 | 40.001 | 39.996 | 39.988 |
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從上表的數據來看，理論值和實際統計值差別不大了。說明我們分析的理論值是合理的。
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綜述：
F（1）=L1÷P1
F（N）=（F（N-1）+LN-（1-PN）×F（N-2））÷PN，當N≥2時。
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再給一題：
某寶物初始是0級，現在要升級
從0級升到1級，所需的資源數為1，成功概率為100%，成功升1級；
從1級升到2級，所需的資源數為2，成功概率為85%，成功升1級，失敗不降級；
從2級升到3級，所需的資源數為3，成功概率為75%，成功升1級，失敗不降級；
從3級升到4級，所需的資源數為4，成功概率為65%，成功升1級，失敗不降級；
從4級升到5級，所需的資源數為5，成功概率為55%，成功升1級，失敗降1級，降為3級；
從5級升到6級，所需的資源數為6，成功概率為45%，成功升1級，失敗降1級，降為4級；
從6級升到7級，所需的資源數為7，成功概率為35%，成功升1級，失敗降1級，降為5級；
從7級升到8級，所需的資源數為8，成功概率為25%，成功升1級，失敗降1級，降為6級；
從8級升到9級，所需的資源數為9，成功概率為20%，成功升1級，失敗降1級，降為7級；
從9級升到10級，所需的資源數為10，成功概率為15%，成功升1級，失敗降1級，降為8級；
問：某寶物從0級升級到10級，所需要的資源數平均是多少？
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你的答案是多少？我的答案是7763.564285
轉載于:https://www.cnblogs.com/grenet/p/4303266.html
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