判斷下列命題是否正確, 正確的給予證明, 錯(cuò)誤的舉出反例.

(1). $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可積, 則 $f$ 有原函數(shù).

(2). $f$ 有原函數(shù), 則 $f$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可積.

?

解答:?

(1). 錯(cuò)誤. 比如 $[0,1]$ 上的 Riemann 函數(shù) $R(x)$, 其是 Riemann 可積的, 但由 $$\bex F(x)=\int_0^x R(t)\rd t=0\ra F'(x)=0\neq R(x),\quad x\in\bbQ \eex$$ 知 $R(x)$ 沒(méi)有原函數(shù).

?

(2). 錯(cuò)誤. 比如 $$\bex f(x)=\sedd{\ba{ll} x^2\sin\cfrac{1}{x^2},&x\neq 0\\ 0,&x=0 \ea} \eex$$ 的導(dǎo)函數(shù) $f'(x)$ 有原函數(shù) $f(x)$, 但是 $f'(x)$ 在 $[0,1]$ 上不是 Riemann 可積的.?

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的[数分提高]2014-2015-2第8教学周第1次课 (2015-04-21)的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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