RSA 加解密算法
與DES不同，RSA算法中，每個通信主體都有兩個鑰匙，一個公鑰一個私鑰。
就是有2把鑰匙
1。使用publicKey可以對數據進行加密
2。使用Key才能對數據進行解密
單方向傳輸
用公鑰加密的數據，只有私鑰能解開（可用于加密）；
同時，使用私鑰加密的數據，只有公鑰能解開（簽名）。但是速度很慢（比私鑰加密慢100到1000倍），
公鑰的主要算法有RSA，還包括Blowfish,Diffie-Helman等
公鑰與私鑰
1.權威數字認證機構（CA）給所有通信主體（個人或組織）頒發公鑰和私鑰，彼此配對，分別唯一。
2.私鑰好比數字指紋，同時具有解密和加密功能。個人保管，不公開。
3.公鑰好比安全性極高的掛號信箱地址，公開。
公私鑰加解密舉例
設若甲有一份需保密的數字商業合同發給乙簽署。經過如下步驟：
?1. 甲用乙的公鑰對合同加密。
?2. 密文從甲發送到乙。
?3. 乙收到密文，并用自己的私鑰對其解密。
?4. 解密正確，經閱讀，乙用自己的私鑰對合同進行簽署。
?5. 乙用甲的公鑰對已經簽署的合同進行加密。
?6. 乙將密文發給甲。
?7. 甲用自己的私鑰將已簽署合同解密。
?8. 解密正確，確認簽署。
公私鑰加解密說明
從以上步驟，我們知道：
?1. 用公鑰加密的密文能且只能用與其唯一配對的私鑰才能解開。
?2. 如果某份密文被解開，那么肯定是密文的目標信息主體解開的。
?3. 私鑰因其唯一標識所有者的屬性，被用于數字簽名，具有法律效力。
一。?公私鑰生成
1.隨機選定兩個大素數p, q.
2.計算公鑰和私鑰的公共模數 n = pq .
3.計算模數n的歐拉函數 φ(n) .
4.選定一個正整數e, 使1 < e < φ(n) , 且e與φ(n)互質.
5.計算d, 滿足 de ≡ 1? (mod φ(n) ), (k為某個正整數).
6.n與e決定公鑰, n與d決定私鑰.
二。加解密
該過程為小張給小李發消息，公鑰為小李的公鑰(n & e), 私鑰為小李的私鑰(n & d).
1.小張欲給小李發一個消息M, 他先把M轉換為一個大數m < n, 然后用小李的公鑰(n & e)把m加密為另一個大數:
??c = me??? mod n
2.小李收到小張發來的大數c, 著手解密. 通過自己的私鑰(n & d), 得到原來的大數m:
??m = cd??? mod n
3.再把m轉換為M, 小李即得到小張的原始消息.
這個過程之所以能通過, 是因為有如下等式:
??cd ≡(me)d ≡med??? (mod n)
RSA詳細算法如下：
1、RSA算法
它是第一個既能用于數據加密也能用于數字簽名的算法。它易于理解和操作，也很流行。算法的名字以發明者的名字命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理論上的證明。它經歷了各種攻擊，至今未被完全攻破。
一、RSA算法 :
首先, 找出三個數, p, q, r,
其中 p, q 是兩個相異的質數, r 是與 (p-1)(q-1) 互質的數......
p, q, r 這三個數便是 private key
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接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1).....
這個 m 一定存在, 因為 r 與 (p-1)(q-1) 互質, 用輾轉相除法就可以得到了.....
再來, 計算 n = pq.......
m, n 這兩個數便是 public key
?
編碼過程是, 若資料為 a, 將其看成是一個大整數, 假設 a < n....
如果 a >= n 的話, 就將 a 表成 s 進位 (s <= n, 通常取 s = 2^t),
則每一位數均小於 n, 然後分段編碼......
接下來, 計算 b == a^m mod n, (0 <= b < n),
b 就是編碼後的資料......
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解碼的過程是, 計算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq),
於是乎, 解碼完畢...... 等會會證明 c 和 a 其實是相等的? :)
?
如果第三者進行竊聽時, 他會得到幾個數: m, n(=pq), b......
他如果要解碼的話, 必須想辦法得到 r......
所以, 他必須先對 n 作質因數分解.........
要防止他分解, 最有效的方法是找兩個非常的大質數 p, q,
使第三者作因數分解時發生困難.........
?
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<定理>
若 p, q 是相異質數, rm == 1 mod (p-1)(q-1),
a 是任意一個正整數, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,
則 c == a mod pq
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證明的過程, 會用到費馬小定理, 敘述如下:
m 是任一質數, n 是任一整數, 則 n^m == n mod m
(換另一句話說, 如果 n 和 m 互質, 則 n^(m-1) == 1 mod m)
運用一些基本的群論的知識, 就可以很容易地證出費馬小定理的........
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<證明>
因為 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整數
因為在 modulo 中是 preserve 乘法的
(x == y mod z? and? u == v mod z? =>? xu == yv mod z),
所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq
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1. 如果 a 不是 p 的倍數, 也不是 q 的倍數時,
?? 則 a^(p-1) == 1 mod p (費馬小定理)? =>? a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p
????? a^(q-1) == 1 mod q (費馬小定理)? =>? a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
?? 所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1? =>? pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1
?? 即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq
?? =>? c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq
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2. 如果 a 是 p 的倍數, 但不是 q 的倍數時,
?? 則 a^(q-1) == 1 mod q (費馬小定理)
?? =>? a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
?? =>? c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q
?? =>? q | c - a
?? 因 p | a
?? =>? c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p
?? =>? p | c - a
?? 所以, pq | c - a? =>? c == a mod pq
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3. 如果 a 是 q 的倍數, 但不是 p 的倍數時, 證明同上
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4. 如果 a 同時是 p 和 q 的倍數時,
?? 則 pq | a
?? =>? c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq
?? =>? pq | c - a
?? =>? c == a mod pq
??????????????????????????????????????? Q.E.D.
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這個定理說明 a 經過編碼為 b 再經過解碼為 c 時, a == c mod n? (n = pq)....
但我們在做編碼解碼時, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n,
所以這就是說 a 等於 c, 所以這個過程確實能做到編碼解碼的功能.....
二、RSA 的安全性
RSA的安全性依賴于大數分解，但是否等同于大數分解一直未能得到理論上的證明，因為沒有證明破解 RSA就一定需要作大數分解。假設存在一種無須分解大數的算法，那它肯定可以修改成為大數分解算法。目前， RSA 的一些變種算法已被證明等價于大數分解。不管怎樣，分解n是最顯然的攻擊方法。現在，人們已能分解多個十進制位的大素數。因此，模數n 必須選大一些，因具體適用情況而定。
三、RSA的速度
由于進行的都是大數計算，使得RSA最快的情況也比DES慢上倍，無論是軟件還是硬件實現。速度一直是RSA的缺陷。一般來說只用于少量數據加密。
四、RSA的選擇密文攻擊
RSA在選擇密文攻擊面前很脆弱。一般攻擊者是將某一信息作一下偽裝( Blind)，讓擁有私鑰的實體簽署。然后，經過計算就可得到它所想要的信息。實際上，攻擊利用的都是同一個弱點，即存在這樣一個事實：乘冪保留了輸入的乘法結構：
( XM )^d = X^d *M^d mod n
? 前面已經提到，這個固有的問題來自于公鑰密碼系統的最有用的特征--每個人都能使用公鑰。但從算法上無法解決這一問題，主要措施有兩條：一條是采用好的公 鑰協議，保證工作過程中實體不對其他實體任意產生的信息解密，不對自己一無所知的信息簽名；另一條是決不對陌生人送來的隨機文檔簽名，簽名時首先使用 One-Way HashFunction 對文檔作HASH處理，或同時使用不同的簽名算法。在中提到了幾種不同類型的攻擊方法。
五、RSA的公共模數攻擊
若系統中共有一個模數，只是不同的人擁有不同的e和d，系統將是危險的。最普遍的情況是同一信息用不同的公鑰加密，這些公鑰共模而且互質，那末該信息無需私鑰就可得到恢復。設P為信息明文，兩個加密密鑰為e1和e2，公共模數是n，則：
C1 = P^e1 mod n
C2 = P^e2 mod n
密碼分析者知道n、e1、e2、C1和C2，就能得到P。
因為e1和e2互質，故用Euclidean算法能找到r和s，滿足：
r * e1 + s * e2 = 1
假設r為負數，需再用Euclidean算法計算C1^(-1)，則
( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n
? 另外，還有其它幾種利用公共模數攻擊的方法。總之，如果知道給定模數的一對e和d，一是有利于攻擊者分解模數，一是有利于攻擊者計算出其它成對的e’和d’，而無需分解模數。解決辦法只有一個，那就是不要共享模數n。
?? RSA的小指數攻擊。 有一種提高 RSA速度的建議是使公鑰e取較小的值，這樣會使加密變得易于實現，速度有
所提高。但這樣作是不安全的，對付辦法就是e和d都取較大的值。
?? RSA算法是第一個能同時用于加密和數字簽名的算法，也易于理解和操作。RSA是被研究得最廣泛的公鑰算法，從提出到現在已近二十年，經歷了各種攻擊的考 驗，逐漸為人們接受，普遍認為是目前最優秀的公鑰方案之一。RSA的安全性依賴于大數的因子分解，但并沒有從理論上證明破譯RSA的難度與大數分解難度等 價。即RSA的重大缺陷是無法從理論上把握它的保密性能如何，而且密碼學界多數人士傾向于因子分解不是NPC問題。 RSA的缺點主要有：A)產生密鑰很麻煩，受到素數產生技術的限制，因而難以做到一次一密。B)分組長度太大，為保證安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使運算代價很高，尤其是速度較慢，較對稱密碼算法慢幾個數量級；且隨著大數分解技術的發展，這個長度還在增加，不利于數據格式的標準化。目 前，SET( Secure Electronic Transaction )協議中要求CA采用比特長的密鑰，其他實體使用比特的密鑰。
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