這里先貼一道例題

我們先科普一下康托展開

定義：

X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0!

ai為整數，并且0<=ai<i(1<=i<=n)

簡單點說就是，判斷這個數在其各個數字全排列中從小到大排第幾位。

比如 1 3 2，在1、2、3的全排列中排第2位。

康托展開有啥用呢？

維基：n位（0~n-1）全排列后，其康托展開唯一且最大約為n!，因此可以由更小的空間來儲存這些排列。由公式可將X逆推出對應的全排列。

它可以應用于哈希表中空間壓縮，

而且在搜索某些類型題時，將VIS數組量壓縮。比如：八數碼，魔板等題

康托展開求法：

比如 2 1 4 3 這個數，求其展開：

從頭判斷，至尾結束,

① 比 2（第一位數）小的數有多少個->1個 就是1，1*3!

② 比 1（第二位數）小的數有多少個->0個 0*2!

③ 比 4（第三位數）小的數有多少個->3個 就是1,2,3，但是1,2之前已經出現，所以是 1*1!

將所有乘積相加=7

比該數小的數有7個，所以該數排第8的位置。

1234 ?1243 ?1324 ?1342 ?1423 ?1432
2134 ?2143 ?2314 ?2341 ?2413 ?2431
3124 ?3142 ?3214 ?3241 ?3412 ?3421
4123 ?4132 ?4213 ?4231 ?4312 ?4321

放一下程序的實現

int contor(int x[]){int p=0;for(int i=1;i<=n;i++){int t=0;for(int j=i+1;j<=n;j++){if(x[i]>x[j]) t++;}p+=t*fac[n-i];}return p+1; }

康托展開的逆：

康托展開是一個全排列到自然數的雙射，可以作為哈希函數。

所以當然也可以求逆運算了。

逆運算的方法：

假設求4位數中第19個位置的數字。

① 19減去1 ?→ 18

② 18 對 3! 作除法 → 得3余0

③ ?0對 2! 作除法 → 得0余0

④ ?0對 1! 作除法 → 得0余0

據上面的可知：

我們第一位數（最左面的數），比第一位數小的數有3個，顯然 第一位數為→ 4

比第二位數小的數字有0個，所以 第二位數為→1

比第三位數小的數字有0個，因為1已經用過，所以第三位數為→2

第四位數剩下 3

該數字為 ?4123 ?(正解)

?

再上代碼

void reverse_contor(int x){memset(vis,0,sizeof vis);x--;int j;for(int i=1;i<=n;i++){int t=x/fac[n-i];for(j=1;j<=n;j++){if(!vis[j]){if(!t) break;t--;}}printf("%d ",j);vis[j]=1;x%=fac[n-i];}puts(""); }

?

轉自

轉載于:https://www.cnblogs.com/YoungNeal/p/8504123.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的[总结] 康托展开及其逆运算的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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