首先要求每個數(shù)互不相等，故有$x\perp y$。

可以發(fā)現(xiàn)$\frac{x}{y}$在$k$進(jìn)制下為純循環(huán)小數(shù)的充要條件為$x\cdot k^{len}\equiv x(mod\ y)$，即$y\perp k$。

接下來進(jìn)行經(jīng)典的推導(dǎo)：
$$\begin{aligned}&\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}[i\perp j][j\perp k]\\=&\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}\sum_{d|i,d|j}\mu(d)[j\perp k]\\=&\sum\limits_{d=1}^{min(n,m)}\mu(d)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}ozvdkddzhkzd\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac{m}ozvdkddzhkzd\rfloor}[jd\perp k]\\=&\sum\limits_{d=1}^{min(n,m)}\mu(d)\lfloor\frac{n}ozvdkddzhkzd\rfloor\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac{m}ozvdkddzhkzd\rfloor}[j\perp k][d\perp k]\end{aligned}$$

令$f(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}[i\perp k]$，由于$gcd(i,k)=gcd(i-k,k)$，故$f(n)=\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\cdot f(k)+f(n\%k)$

再令$g(i)=\mu(i)[i\perp k]$，則答案為$\sum\limits_{d=1}^{min(n,m)}g(d)f(\lfloor\frac{m}ozvdkddzhkzd\rfloor)\lfloor\frac{n}ozvdkddzhkzd\rfloor$

令$G(n,k)$為$g()$的前綴和，同樣進(jìn)行根號優(yōu)化：
$$G(n,k)=\sum\limits_{i=1}^{n}\mu(i)[i\perp k]=\sum\limits_{i=1}^{n}\mu(i)\sum\limits_{d|i,d|k}\mu(d)=\sum\limits_{d|k}\mu(d)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}ozvdkddzhkzd\rfloor}\mu(id)$$
注意到$\mu(id)=[i\perp d]\ ?\ 0:\mu(i)\cdot \mu(d)$，故
$$G(n,k)=\sum\limits_{d|k}\mu^2(d)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}ozvdkddzhkzd\rfloor}\mu(i)[i\perp d]=\sum\limits_{d|k}\mu^2(d)G(\lfloor\frac{n}ozvdkddzhkzd\rfloor,d)$$

$G$函數(shù)可以通過遞歸記憶化求出。由于$G(a,b)$中$a$最多有$\sqrt{n}$種取值，$b$最多有$\sigma_0(k)$種取值，每次轉(zhuǎn)移的復(fù)雜度也是$\sigma_0(k)$的，故總復(fù)雜度為$O(n^{\frac{2}{3}}+\sigma_0^2(k))$，事實(shí)上遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到這個上界。

在做除$\mu$和$\varphi$之外的杜教篩時，用map會簡潔得多，有時候（可能詢問到的n不能確定時）必須用map。

此題還有一種更優(yōu)類似洲閣篩的做法，能處理$k\leqslant 10^{18}$的問題，復(fù)雜度為$O(n^{\frac{2}{3}}+\omega(k)\sqrt{n})$。

https://blog.sengxian.com/solutions/bzoj-4652

1 #include<map> 2 #include<cstdio> 3 #include<algorithm> 4 #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++) 5 typedef long long ll; 6 using namespace std; 7 8 const int N=5000010,K=2010; 9 ll ans; 10 bool b[N]; 11 int tot,w,n,m,k,F[K],p[N],miu[N]; 12 map<int,int>G[K],Miu; 13 14 int gcd(int a,int b){ return b ? gcd(b,a%b) : a; } 15 int f(int n){ return (n/k)*F[k]+F[n%k]; } 16 17 void pre(int n){ 18 miu[1]=1; 19 rep(i,2,n){ 20 if (!b[i]) p[++tot]=i,miu[i]=-1; 21 for (int j=1; j<=tot && i*p[j]<=n; j++){ 22 b[i*p[j]]=1; 23 if (i%p[j]==0) { miu[i*p[j]]=0; break; } 24 else miu[i*p[j]]=-miu[i]; 25 } 26 } 27 rep(i,2,n) miu[i]+=miu[i-1]; 28 } 29 30 int Mu(int n){ 31 int res=1; 32 if (n<=w) return miu[n]; 33 if (Miu.count(n)) return Miu[n]; 34 for (int i=2,lst; i<=n; i=lst+1) 35 lst=n/(n/i),res-=Mu(n/i)*(lst-i+1); 36 return Miu[n]=res; 37 } 38 39 int g(int n,int k){ 40 int res=0; 41 if (!n) return 0; 42 if (G[k].count(n)) return G[k][n]; 43 if (k==1) return Mu(n); 44 for (int d=1; d*d<=k; d++) 45 if (k%d==0){ 46 if (miu[d]-miu[d-1]) res+=g(n/d,d); 47 if (d*d==k) continue; 48 int t=k/d; 49 if (miu[t]-miu[t-1]) res+=g(n/t,t); 50 } 51 return G[k][n]=res; 52 } 53 54 int main(){ 55 freopen("cycle.in","r",stdin); 56 freopen("cycle.out","w",stdout); 57 scanf("%d%d%d",&n,&m,&k); w=min(max(n,m),5000000); pre(w); 58 rep(i,1,k) F[i]=F[i-1]+(gcd(i,k)==1); 59 for (int i=1,lst; i<=m && i<=n; i=lst+1) 60 lst=min(n/(n/i),m/(m/i)),ans+=1ll*(g(lst,k)-g(i-1,k))*f(m/i)*(n/i); 61 printf("%lld\n",ans); 62 return 0; 63 }

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轉(zhuǎn)載于:https://www.cnblogs.com/HocRiser/p/9494834.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的[NOI2016]循环之美(杜教筛)的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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