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歐拉定理證明 && 歐拉公式

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歐拉函數 ：
歐拉函數是數論中很重要的一個函數，歐拉函數是指：對于一個正整數 n ，小于 n 且和 n 互質的正整數（包括 1）的個數，記作 φ(n) 。?

完全余數集合：
定義小于 n 且和 n 互質的數構成的集合為 Zn ，稱呼這個集合為 n 的完全余數集合。 顯然 |Zn| ＝φ(n) 。

有關性質：
對于素數 p ，φ(p) = p -1 。
對于兩個不同素數 p， q ，它們的乘積 n = p * q 滿足 φ(n) = (p -1) * (q -1)? 。
這是因為 Zn = {1, 2, 3,? ... , n - 1} - {p, 2p, ... , (q - 1) * p} - {q, 2q, ... , (p - 1) * q} ， 則 φ(n) = (n - 1) - (q - 1) - (p - 1) = (p -1) * (q -1)? ＝φ(p) *?φ(q)?。

歐拉定理 ：
對于互質的正整數 a 和 n ，有?a^φ(n)? ≡ 1 mod n? 。

證明：
( 1 ) 令?Zn = {x₁, x₂, ..., x_φ(n)}?，?S?= {a * x₁?mod n, a * x₂?mod n, ... , a * x_φ(n)?mod n}?，
??????? 則 Zn = S 。
??????? ① 因為 a 與 n 互質，?x_i?(1 ≤ i ≤ φ(n))?與 n 互質， 所以 a *?x_i? 與 n 互質，所以 a *?x_i? mod n ∈ Zn 。
??????? ② 若 i ≠ j ， 那么?x_i?≠?x_j，且由 a, n互質可得?a * x_i?mod n ≠?a * x_j?mod n （消去律）。

( 2 )?????a^φ(n)?*?x_1?*?x₂?*... *?x_φ(n)?mod n?
??????≡?(a * x₁) * (a * x₂) * ... * (a * x_φ(n))?mod n
??????≡?(a * x₁?mod n) * (a * x_2?mod n) * ... * (a * x_φ(n)?mod n)?mod n
??????≡??x_1?*?x_2?* ... *?x_φ(n)?mod n
????? 對比等式的左右兩端，因為?x_i? (1 ≤ i ≤ φ(n)) 與 n 互質，所以?a^φ(n)??≡? 1 mod n （消去律）。
注：
消去律：如果 gcd(c,p) = 1 ，則 ac ≡ bc mod p ? a ≡ b mod p 。

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https://blog.csdn.net/dylan_frank/article/details/70249110

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http://www.cnblogs.com/edward-bian/p/4391256.html

【初等數論】 05 - 指數和原根

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轉載于:https://www.cnblogs.com/itzxy/p/9542704.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的离散对数和原根 欧拉定理证明的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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