[数论]Gcd/ExGcd欧几里得学习笔记
\(Q\):什么是\(GCD\)?
- \(GCD\)
\(GCD\)，即最大公約數（\(Greatest\ Common\ Divisor\)）
對于兩個自然數\(a,b\)，定義\(GCD(a,b)\)為\(a,b\)所有公共約數中最大的一個，即\(GCD(a,b)=\max\{x\in N^*,x|a\)且\(x|b\}\)
然后是關于\(GCD\)的算法即其擴展
\(Part1\) 歐幾里得算法
\(Q\):這個算法有什么用？
此算法可以在\(log\)級別里求出兩個數\(a,b\)的\(GCD\)
- 歐幾里得算法
對于\(a,b\)，設它們的\(GCD\)為\(d\)。
則有：\(d|a\)且\(d|b\)
設\(a=k*{}b+r(k=\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor,r=a\mod b)\)
則：\(d|(a-k*{}b)\)，即\(d|r\)
所以\(GCD(a,b)=GCD(b,r)=GCD(b,a\mod b)\)
最后遞歸求解，可在\(O(log_2a)\)內得解。
時間復雜度 \(O(log_2a)\)
空間復雜度 \(O(log_2a)\)(遞歸棧)
實際復雜度一般到不了此上界。
代碼：
//求GCD(a,b) #include <cstdio>int GCD(int a,int b) {return b?GCD(b,a%b):a;//當b為0時，GCD(a,0)=a，充當遞歸邊界。 }int main() {int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);printf("%d\n",GCD(a,b));return 0; }\(Part2\) 擴展歐幾里得
\(Q\):這個奇怪的算法又是什么啊？
首先，先來看一個不定方程：
\[ax+by=c\]
擴展歐幾里得就是用來求此方程的不定解\((x,y)\)的。
準備知識：
- \(Bezout\)定理
對于兩個整數\(a,b\)存在一對整數\(x,y\)，滿足\(ax+by=GCD(a,b)\)
證明：
在調用歐幾里得算法時，當\(b=0\)，顯然有\(x=1,y=0\)滿足定理。
當\(b\not= 0\)時，若已經求得，\(x,y\)，使得
\[bx+(a\mod b)y=GCD(b,a\mod b)\]
則
\[bx+(a-b\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor)y=GCD(b,a\mod b)\]
\[ay+b(x-\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor y)=GCD(b,a\mod b)\]
設\(x'=y,y'=x-\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor y\)，則有
\[ax'+by'=GCD(b,a\mod b)=GCD(a,b)\]
利用數學歸納法，知道\(Bezout\)成立。
同時，我們可以利用此定理求出一組\(ax+by=GCD(a,b)\)的解。
時間復雜度 \(O(log_2a)\)
空間復雜度 \(O(log_2a)\)
代碼：
//求x,y使得ax+by=GCD(a,b)，同時得到GCD(a,b) #include <cstdio>int ExGCD(int a,int b,int &x,int &y) {if(!b){x=1,y=0;return a;}//遞歸邊界int GCD=ExGCD(b,a%b,x,y);int Tmp=x;x=y,y=Tmp-a/b*y;return GCD; }int main() {int a,b,GCD,x,y;scanf("%d%d",&a,&b);GCD=ExGCD(a,b,x,y);printf("%d %d %d\n",GCD,x,y);return 0; }接著回到正題：對于方程\(ax+by=c\)，它有解僅當\(GCD(a,b)|c\)。
證明？不會，記住就行，畢竟顯然。
接著，求出方程\(ax+by=GCD(a,b)\)的一組解，則：
\[ax+by=GCD(a,b)\]
\[\frac{c}{GCD(a,b)}*{}(ax+by)=c\]
\[a*\frac{cx}{GCD(a,b)}+b*\frac{cy}{GCD(a,b)}=c\]
于是就有了一組解：\(x'=\frac{cx}{GCD(a,b)},y'=\frac{cy}{GCD(a,b)}\)(對\(x,y\)同時乘上\(\frac{c}{GCD(a,b)}\))
于是問題得解。
時間復雜度 \(O(log_2a)\)
空間復雜度 \(O(log_2a)\)
代碼：
//求x,y使得ax+by=c，同時得到GCD(a,b) #include <cstdio>int ExGCD(int a,int b,int &x,int &y) {if(!b){x=1,y=0;return a;}//遞歸邊界int GCD=ExGCD(b,a%b,x,y);int Tmp=x;x=y;y=Tmp-a/b*y;return GCD; }int main() {int a,b,c,GCD,x,y;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);GCD=ExGCD(a,b,x,y);if(c%GCD)return puts("Orz I cannot find it!"),0;//無解int d=c/GCD;printf("%d %d %d\n",GCD,x*d,y*d);return 0; }關于通解以及\(x\)最小正整數解。
設\(d=GCD(a,b)\)，
\(x_0,y_0\)為\(ax+by=GCD(a,b)\)的一組特解，
\(x=x_0+km,y=y_0+kn(k\in \mathbb{Z})\)為方程的通解表示（k為任意整數），
則：
\[ax+by=ax_0+by_0\]
\[a(x_0+km)+b(y_0+kn)=ax_0+by_0\]
\[am+bn=0\]
顯然，當\(m=-b,n=a\)時等式成立。
又因為要把\(m,n\)比例降到最小，所以同時除去\(GCD\)。
最后的通解表示為：
\[x=x_0-k\frac{b}ozvdkddzhkzd,y=y_0+k\frac{a}ozvdkddzhkzd(k\in \mathbb{Z})\]
同理，對于方程\(ax+by=c\)的通解為：
\[x=\frac{c}ozvdkddzhkzdx_0-k\frac{b}ozvdkddzhkzd,y=\frac{c}ozvdkddzhkzdy_0+k\frac{a}ozvdkddzhkzd(k\in \mathbb{Z})\]
所以求\(x\)的最小整數解只需要將\(x\mod \frac{b}ozvdkddzhkzd\)再推出\(y\)即可。
時間復雜度 \(O(log_2a)\)
空間復雜度 \(O(log_2a)\)
代碼：
//求ax+by=c的x最小正整數解。 #include <cstdio>int ExGCD(int a,int b,int &x,int &y) {if(!b){x=1,y=0;return a;}//遞歸邊界int GCD=ExGCD(b,a%b,x,y);int Tmp=x;x=y;y=Tmp-a/b*y;return GCD; }int main() {int a,b,c,d,x,y;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);d=ExGCD(a,b,x,y);if(c%d)return puts("Orz I cannot find it!"),0;//無解x*=c/d,y*=c/d;int f=b/d;x=(x%f+f)%f;y=(c-a*x)/b;printf("%d %d\n",x,y);//x最小正整數解。return 0; }所有性質證明到此結束。
歐幾里得是個好東西，然而我不會用。
數論博大精深，不能就此止步，還要繼續探索。
祝自己\(++OI::RP\)
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