題目描述：470. 用 Rand7() 實現 Rand10()

因為是第一次接觸到這樣的題目，毫無思緒，對官方題解也是“不知道為什么要這么做”。看過一些題解之后才逐漸明白，現在讓我自己來寫題解，我打算先從簡單的開始講起。

Part 1

假設已知rand2()可以均勻的生成[1,2]的隨機數，現在想均勻的生成[1,4]的隨機數，該如何考慮？

我想如果你也像我一樣第一次接觸這個問題，那么很可能會這么考慮——令兩個rand2()相加，再做一些必要的邊角處理。如下：

rand2() + rand2() = ? ==> [2,4]1 ? ?+ ? 1 ? ? = 21 ? ?+ ? 2 ? ? = 32 ? ?+ ? 1 ? ? = 32 ? ?+ ? 2 ? ? = 4

// 為了把生成隨機數的范圍規約成[1,n]，于是在上一步的結果后減1

(rand2()-1) + rand2() = ? ==> [1,3]0 ? ? ? + ? 1 ? ? = 10 ? ? ? + ? 2 ? ? = 21 ? ? ? + ? 1 ? ? = 21 ? ? ? + ? 2 ? ? = 3

可以看到，使用這種方法處理的結果，最致命的點在于——其生成的結果不是等概率的。在這個簡單的例子中，產生2的概率是50%，而產生1和3的概率則分別是25%。原因當然也很好理解，由于某些值會有多種組合，因此僅靠簡單的相加處理會導致結果不是等概率的。

因此，我們需要考慮其他的方法了。

仔細觀察上面的例子，我們嘗試對 (rand2()-1) 這部分乘以 2，改動后如下：

(rand2()-1) × 2 + rand2() = ? ==> [1,3]0 ? ? ? ? ? ?+ ? 1 ? ? = 10 ? ? ? ? ? ?+ ? 2 ? ? = 22 ? ? ? ? ? ?+ ? 1 ? ? = 32 ? ? ? ? ? ?+ ? 2 ? ? = 4

神奇的事情發生了，奇怪的知識增加了。通過這樣的處理，得到的結果恰是[1,4]的范圍，并且每個數都是等概率取到的。因此，使用這種方法，可以通過rand2()實現rand4()。

也許這么處理只是我運氣好，而不具有普適性？那就多來嘗試幾個例子。比如：

(rand9()-1) × 7 + rand7() = resulta ? ? ? ? ? ? ? b

為了表示方便，現將rand9()-1表示為a，將rand7()表示為b。計算過程表示成二維矩陣，如下：

可以看到，這個例子可以等概率的生成[1,63]范圍的隨機數。再提煉一下，可以得到這樣一個規律：
已知 rand_N() 可以等概率的生成[1, N]范圍的隨機數
那么：
(rand_X() - 1) × Y + rand_Y() ==> 可以等概率的生成[1, X * Y]范圍的隨機數
即實現了 rand_XY()
?

part2

那么想到通過rand4()來實現rand2()呢？這個就很簡單了，已知rand4()會均勻產生[1,4]的隨機數，通過取余，再加1就可以了。如下所示，結果也是等概率的。

rand4() % 2 + 1 = ?1 % 2 ? ?+ 1 = 22 % 2 ? ?+ 1 = 13 % 2 ? ?+ 1 = 24 % 2 ? ?+ 1 = 1

事實上，只要rand_N()中N是2的倍數，就都可以用來實現rand2()，反之，若N不是2的倍數，則產生的結果不是等概率的。比如：

rand6() % 2 + 1 = ?1 % 2 ? ?+ 1 = 22 % 2 ? ?+ 1 = 13 % 2 ? ?+ 1 = 24 % 2 ? ?+ 1 = 15 % 2 ? ?+ 1 = 26 % 2 ? ?+ 1 = 1 rand5() % 2 + 1 = ?1 % 2 ? ?+ 1 = 22 % 2 ? ?+ 1 = 13 % 2 ? ?+ 1 = 24 % 2 ? ?+ 1 = 15 % 2 ? ?+ 1 = 2

Part 3

ok，現在回到本題中。已知rand7()，要求通過rand7()來實現rand10()。

有了前面的分析，要實現rand10()，就需要先實現rand_N()，并且保證N大于10且是10的倍數。這樣再通過rand_N() % 10 + 1 就可以得到[1,10]范圍的隨機數了。

而實現rand_N()，我們可以通過part 1中所講的方法對rand7()進行改造，如下：

(rand7()-1) × 7 + rand7() ?==> rand49()
但是這樣實現的N不是10的倍數啊！這該怎么處理？這里就涉及到了“拒絕采樣”的知識了，也就是說，如果某個采樣結果不在要求的范圍內，則丟棄它。基于上面的這些分析，再回頭看下面的代碼，想必是不難理解了。

class Solution extends SolBase {public int rand10() {while(true) {int num = (rand7() - 1) * 7 + rand7(); // 等概率生成[1,49]范圍的隨機數if(num <= 40) return num % 10 + 1; // 拒絕采樣，并返回[1,10]范圍的隨機數}} }

Part 4: 優化

這部分具體的代碼是參考官方題解的，不過是我自己在理解了part 1和part 2之后才看懂的，一開始看真不知道為什么（/(ㄒoㄒ)/~~...

根據part 1的分析，我們已經知道(rand7() - 1) * 7 + rand7() 等概率生成[1,49]范圍的隨機數。而由于我們需要的是10的倍數，因此，不得不舍棄掉[41, 49]這9個數。優化的點就始于——我們能否利用這些范圍外的數字，以減少丟棄的值，提高命中率總而提高隨機數生成效率。

class Solution extends SolBase {public int rand10() {while(true) {int a = rand7();int b = rand7();int num = (a-1)*7 + b; // rand 49if(num <= 40) return num % 10 + 1; // 拒絕采樣a = num - 40; // rand 9b = rand7();num = (a-1)*7 + b; // rand 63if(num <= 60) return num % 10 + 1;a = num - 60; // rand 3b = rand7();num = (a-1)*7 + b; // rand 21if(num <= 20) return num % 10 + 1;}} }

作者：kkbill
鏈接：https://leetcode-cn.com/problems/implement-rand10-using-rand7/solution/cong-zui-ji-chu-de-jiang-qi-ru-he-zuo-dao-jun-yun-/
來源：力扣（LeetCode）
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總結

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