帶上下界的網絡流的學習筆記啦~
注意：代碼還在路上。
無源匯上下界可行流?
模型
給定一個網絡，求一個流，滿足每條邊的流量都 \(min?flow?max\) ，并且每個點都滿足 總流入量=總流出量（流量守恒） ，沒有源匯。
思路
核心是將一個不滿足流量守恒的初始流調整成滿足流量守恒的流
初始流，不一定滿足流量守恒，每條邊的流量都是這條邊的流量下界
附加流，不一定滿足流量守恒，但是和初始流的疊加流滿足流量守恒
新增虛擬源點匯點\(s,t\)
設\(d[i]=\)流入量-流出量
- \(d[i]>0\) ，\(s\)向\(i\)連流量為\(d[i]\)的邊
- \(d[i]<0\)，\(i\)向\(t\)連流量為\(-d[i]\)的邊
每條邊的流量變為\(up-down\)，就是上界減下界
有可行流的必要條件是\(s\)的出邊的流量總和等于\(t\)的入邊的流量總和
存在可行流的條件\(s\)到\(t\)的最大流\(=\sum_{d[i]>0} d[i]\)
最后，每條邊的實際流量就是初始流+附加流
Code
咕咕咕
有源匯上下界可行流?
模型
滿足源點流出量\(=\)匯點流入量，其它節點流量守恒，每條邊都滿足上下界限制
思路
建一條從\(t\)到\(s\)的邊上界為\(inf\)，下界為\(0\)，這樣就可以轉化成無源匯的模型
然后最后整個網絡的流量就是邊\(t \rightarrow s\)的流量
Code
咕咕咕
有源匯上下界最大流?
模型
有源匯的可行流的情況下滿足總流量最大
思路
最大流\(=\)可行流流量\(+\)新增廣的\(s\)到\(t\)的最大流
在求完可行流之后，在對原圖的殘余網絡求一次最大流
因為是在更改附加流，對原來的流量上界不會造成影響
Code
咕咕咕
有源匯上下界最小流?
模型
有源匯的可行流的情況下滿足總流量最小
思路
最大流\(=\)可行流流量\(-\)新增廣的\(t\)到\(s\)的最小流
相當于是在跑反向邊，跑的過程中是不會改變流量守恒的
而且是在更改附加流，對原來的流量下界也不造成影響
Code
// lp 4843 清理雪道#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define reg register
inline int read()
{int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;
}
const int MN=105,inf=0x3f3f3f3f;
int step[MN],q[MN],top;
struct edge{int to,w,nex;}e[MN*MN<<1];
int en=1,cur[MN],hr[MN];
inline void ins(int x,int y,int w)
{e[++en]=(edge){y,w,hr[x]};hr[x]=en;e[++en]=(edge){x,0,hr[y]};hr[y]=en;
}
bool bfs(int S,int T)
{memset(step,0,sizeof step);reg int i,j;for(step[q[i=top=1]=S]=1;i<=top;++i)for(j=hr[q[i]];j;j=e[j].nex)if(e[j].w&&!step[e[j].to])step[q[++top]=e[j].to]=step[q[i]]+1;return step[T];
}int dfs(int x,int T,int f)
{if(x==T) return f;int used=0;for(int &i=cur[x];i;i=e[i].nex)if(e[i].w&&step[e[i].to]==step[x]+1){int tmp=dfs(e[i].to,T,min(f-used,e[i].w));e[i].w-=tmp,e[i^1].w+=tmp;used+=tmp;if(f==used) return f;}return step[x]=-1,used;
}
int dinic(int S,int T)
{int maxflow=0;while(bfs(S,T)){memcpy(cur,hr,sizeof cur);maxflow+=dfs(S,T,inf);}return maxflow;
}
int ss,tt,s,t,n,d[MN],ans;
int main()
{n=read();int s=n+1,t=n+2,ss=n+3,tt=n+4;reg int i,j,k;for(i=1;i<=n;++i){j=read();while(j--) k=read(),ins(i,k,inf),--d[i],++d[k];}for(i=1;i<=n;++i) ins(s,i,inf),ins(i,t,inf);ins(t,s,inf);int tmp=en;for(i=1;i<=n;++i)if(d[i]>0) ins(ss,i,d[i]);else if(d[i]<0) ins(i,tt,-d[i]);dinic(ss,tt);ans=e[tmp].w;for(i=hr[ss];i;i=e[i].nex) e[i].w=e[i^1].w=0;for(i=hr[tt];i;i=e[i].nex) e[i].w=e[i^1].w=0;e[tmp^1].w=e[tmp].w=0;ans-=dinic(t,s);printf("%d\n",ans);
}
無源匯上下界最小/大費用可行流?
模型
在無源匯上下界可行流的基礎上，要求費用最小/大。
思路
每條邊的費用是不變的，和虛擬源匯的邊費用是\(0\)
把跑最大流改為跑最小/大費用最大流
Code
咕咕咕
無源匯上下界最小/大費用可行流?
模型
在有源匯上下界可行流的基礎上，要求費用最小/大。
思路
每條邊的費用是不變的，和虛擬源匯的邊費用是\(0\)
把跑最大流改為跑最小/大費用最大流
Code
/*有源匯上下界最小費用可行流[AHOI2014/JSOI2014]支線劇情
*/
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define reg register
inline int read()
{int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;
}
const int MN=305,inf=0x3f3f3f3f;
struct edge{int to,w,c,nex;}e[MN*MN<<1];
int hr[MN],en=1;
inline void ins(int x,int y,int w,int c)
{e[++en]=(edge){y,w,c,hr[x]};hr[x]=en;e[++en]=(edge){x,0,-c,hr[y]};hr[y]=en;
}
std::queue<int> q;
int S,T,d[MN];
bool inq[MN];
bool spfa()
{memset(d,0x3f,sizeof d);memset(inq,0,sizeof inq);q.push(T);d[T]=0;inq[T]=true;while(!q.empty()){int u=q.front();q.pop();inq[u]=false;for(int i=hr[u];i;i=e[i].nex)if(d[e[i].to]>d[u]+e[i^1].c&&e[i^1].w){d[e[i].to]=d[u]+e[i^1].c;if(!inq[e[i].to]) inq[e[i].to]=true,q.push(e[i].to); }}return d[S]!=inf;
}bool vis[MN];
int mincost;int dfs(int x,int f)
{vis[x]=true;if(x==T) return f;int used=0;for(int i=hr[x];i;i=e[i].nex)if(d[e[i].to]==d[x]-e[i].c&&e[i].w&&!vis[e[i].to]){int tmp=dfs(e[i].to,min(f-used,e[i].w));e[i].w-=tmp;e[i^1].w+=tmp;used+=tmp;mincost+=tmp*e[i].c;if(used==f) return f;}return used;
}int flow()
{while(spfa()){do{memset(vis,0,sizeof vis);dfs(S,inf);}while(vis[T]);}return mincost;
}int n,h[MN],ans;int main()
{n=read();S=n+2;T=n+3;reg int i,j,k,l;for(i=1;i<=n;++i){j=read();h[i]-=j;while(j--)++h[k=read()],ans+=(l=read()),ins(i,k,inf,l);}for(i=2;i<=n;i++) ins(i,n+1,inf,0);ins(n+1,1,inf,0);for(i=1;i<=n;++i) if(h[i]>0) ins(S,i,h[i],0);else ins(i,T,-h[i],0);printf("%d\n",ans+flow());
}
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總結
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