《3D Math Primer for Graphics and Game Development》讀書筆記1

本文是《3D Math Primer for Graphics and Game Development》第一版的讀書筆記。第二版貌似還沒(méi)有中文版。

本書網(wǎng)站gamemath.com。中文版居然給了翻譯公司的網(wǎng)址，而且里面還什么有用的都沒(méi)有，囧。

第2章 笛卡爾坐標(biāo)系統(tǒng)

左手坐標(biāo)系的記憶方法

伸出左手，手指依次是（1）大拇指、（2）食指、（3）中指；坐標(biāo)軸按字母表依次是（1）X軸、（2）Y軸、（3）Z軸。他們分別對(duì)應(yīng)起來(lái)，用左手?jǐn)[成下圖的樣子（不錯(cuò)的pose啊），就是左手坐標(biāo)系。

右手坐標(biāo)系的記憶方法

同上，用右手就行了。

約定俗成和習(xí)慣

傳統(tǒng)的計(jì)算機(jī)圖形學(xué)使用左手坐標(biāo)系，線性代數(shù)則傾向于右手坐標(biāo)系。

兩種坐標(biāo)系沒(méi)有優(yōu)劣之分，只是使用習(xí)慣不同。

本書使用左手坐標(biāo)系。

第3章 多坐標(biāo)系

攝像機(jī)坐標(biāo)系

本書約定的攝像機(jī)坐標(biāo)系，攝像機(jī)在原點(diǎn)，X軸向右，Z軸向前，Y軸向上，如下圖所示。

許多圖形學(xué)書中習(xí)慣使用右手系，Z軸向外，即從屏幕指向讀者。

坐標(biāo)系變換

坐標(biāo)系變換的意思：知道某一點(diǎn)P在坐標(biāo)系A(chǔ)中的坐標(biāo)，如何獲取P在另一坐標(biāo)系B中的坐標(biāo)？

只需在坐標(biāo)系A(chǔ)中定位坐標(biāo)系B（描述B的原點(diǎn)和軸在A中的值）。后文會(huì)詳述。

包圍盒

向量軸對(duì)齊包圍盒是axially aligned bounding box（AABB）的翻譯。我就是覺(jué)得包圍盒這個(gè)翻譯很不錯(cuò)。

第4章 向量

相對(duì)位置

"50英里每小時(shí)的速度向北"能用向量表示。

向量能描述的是相對(duì)位置。相對(duì)位置的想法是很直接的：某個(gè)物體的位置，能通過(guò)描述它與已知點(diǎn)之間的相對(duì)關(guān)系來(lái)指明。

由此引出一個(gè)問(wèn)題，這些"已知"點(diǎn)在哪兒？什么是"絕對(duì)"位置？令人吃驚的是不存在這樣的東西。因?yàn)樵诿枋鲆粋€(gè)點(diǎn)的位置時(shí)，總要描述它和其它一些點(diǎn)的關(guān)系。這就沒(méi)完沒(méi)了了。

既然"已知"點(diǎn)不存在，那么如何通過(guò)所謂的"已知"點(diǎn)來(lái)描述位置呢？我的思路是：假設(shè)存在一個(gè)已知點(diǎn)的位置。假設(shè)已經(jīng)找到了一個(gè)已知點(diǎn)，這樣就不必?zé)o限地去追溯"已知"點(diǎn)了。

相對(duì)論的一個(gè)重要觀點(diǎn)就是不存在絕對(duì)參考系。

第5章 向量運(yùn)算

向量和點(diǎn)的關(guān)系

向量[x, y]描述了原點(diǎn)到點(diǎn)(x, y)的位移量。

向量和點(diǎn)在概念上不同，而在數(shù)學(xué)上等價(jià)。

等價(jià)是什么意思？等價(jià)就是兩者存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。一一對(duì)應(yīng)是什么意思？就是即使你和我毫不相干，但是你有一個(gè)什么東西，我就有一個(gè)相應(yīng)的什么東西；反過(guò)來(lái)也一樣。比如你在照鏡子，你看到鏡子里的人臉上粘個(gè)米粒，就知道自己什么情況了。

向量投影

給定兩個(gè)向量v和n，可以把v分成兩部分：v_||和v_⊥。它們分別平行和垂直于n, 并滿足v = v_|| + v_⊥。我們把平行分量v_||稱作v在n上的投影。

投影的計(jì)算公式：

垂直分量的公式：

后文會(huì)有很多地方用到這兩個(gè)公式。總之你知道有這兩個(gè)公式存在就行了，需要的時(shí)候拿來(lái)用。畢竟不需要做數(shù)學(xué)家。

第6章 3D向量類

類接口

好的類設(shè)計(jì)首先要回答下列問(wèn)題："這個(gè)類將提供什么操作？"、"在哪些數(shù)據(jù)上執(zhí)行這些操作？"

從這些代碼和設(shè)計(jì)思路中就可以感受到作者的認(rèn)真態(tài)度和深厚功底。

設(shè)計(jì)決策

如果世界不超過(guò)1英里，那么32位的float類型就足夠，因?yàn)?4位尾數(shù)能提供1/250英寸的精度。

如果世界超過(guò)200英里（321.8688千米），比如整個(gè)江蘇省，那么32位float就不夠了。

不存在Point3類

有了Vector3類，就不需要Point3類。避免重復(fù)代碼以及滿世界的向量與點(diǎn)的轉(zhuǎn)換。

關(guān)于優(yōu)化

過(guò)早的優(yōu)化是一切罪惡的根源。優(yōu)化那些非瓶頸的代碼，使代碼復(fù)雜化，卻沒(méi)有得到相應(yīng)的回報(bào)。

在過(guò)去，定點(diǎn)數(shù)是一種優(yōu)化技術(shù)。當(dāng)今的處理器已經(jīng)可以快速處理浮點(diǎn)數(shù)，這個(gè)技術(shù)就不需要了。

不要為了2%的優(yōu)化付出100%的代碼復(fù)雜性。

簡(jiǎn)單點(diǎn)說(shuō)，就是別優(yōu)化，我的技術(shù)水平?jīng)]那么高。

第7章 矩陣

矩陣用來(lái)描述兩個(gè)坐標(biāo)系間的關(guān)系，通過(guò)定義一種運(yùn)算來(lái)將一個(gè)坐標(biāo)系中的向量/點(diǎn)轉(zhuǎn)換到另一個(gè)坐標(biāo)系中。換句話說(shuō)，就是已知一個(gè)向量/點(diǎn)在坐標(biāo)系A(chǔ)中的坐標(biāo)，又知坐標(biāo)系A(chǔ)和坐標(biāo)系B的關(guān)系，求其在坐標(biāo)系B中的坐標(biāo)。

向量是標(biāo)量的數(shù)組，矩陣是向量的數(shù)組。

矩陣的下標(biāo)從1開(kāi)始。

矩陣乘法

記r×n矩陣A與n×c矩陣B的乘積為C。C的任意元素Cij如下：

矩陣乘法設(shè)計(jì)成這樣，是因?yàn)橛袑?shí)際意義，數(shù)學(xué)上也有研究?jī)r(jià)值。或者說(shuō)，正是因?yàn)樗从沉爽F(xiàn)實(shí)世界的某些東西，才會(huì)有數(shù)學(xué)意義。

本書給了一種非常好的記憶方法：

我擴(kuò)展了一下，可以將A的各個(gè)列拆開(kāi)，同時(shí)將B的各個(gè)行拆開(kāi)：

變成下圖所示的樣子：

可以看到，矩陣的乘法運(yùn)算，可以把A的各列拆開(kāi)，B的各行拆開(kāi)，分別運(yùn)算，最后相加。拆分時(shí)，只要A的列和B的行的拆分方式相同即可。

還有另一種拆法：把A的各行拆開(kāi)，B的各列拆開(kāi)，分別運(yùn)算，最后拼起來(lái)。

而且，還可以同時(shí)進(jìn)行這兩種拆分。這時(shí)，你可以看做先進(jìn)行第一種拆分，然后進(jìn)行第二種拆分，這樣（對(duì)我來(lái)說(shuō)）比較容易理解。這樣就能理解矩陣分塊計(jì)算的原理。

約定和習(xí)慣

本書默認(rèn)使用行向量進(jìn)行與矩陣的運(yùn)算。

DirectX使用的是行向量。

OpenGL使用的是列向量。

線性變換

線性變換保留了模型中原有的直線和平行線，原點(diǎn)也保持不動(dòng)。長(zhǎng)度、角度、體積可能會(huì)改變。從非技術(shù)意義上說(shuō)，線性變換可能"拉伸"坐標(biāo)系，但不會(huì)"彎曲"或"卷折"坐標(biāo)系。

旋轉(zhuǎn)、縮放、投影、鏡像是線性變換。

仿射（線性變換后平移）不是線性變換。

方陣能描述線性變換。

矩陣運(yùn)算和3D變換

設(shè)有一組基向量p0=(1, 0, 0)，q0=(0, 1, 0)，r0=(0, 0, 1)，此時(shí)向量v=(x, y, z)就是v在p0=(1, 0, 0)，q0=(0, 1, 0)，r0=(0, 0, 1)這個(gè)坐標(biāo)系里的坐標(biāo)，即有v = xp0 + yq0 + zr0。

設(shè)p、q、r為任意一組基向量。例如p=(1, 0, 0)，q=(0, 1, 0)，r=(0, 0, 1)（互相垂直）；或p=(0.8, 0.6, 0)，q=(-0.6, 0.8, 0)，r=(0, 0, 1) （互相垂直）；或p=(1/√5)(2,-1,0)，q= (1/√45)(2,4,5)，r= (1/3)(1,2,-2) （互相垂直）或p=(1, 1, 1-√2 )，q=(1-√2, 1, 1)，r=(1, 1-√2, 1)（并非互相垂直）……

然后，我們用p、q、r構(gòu)造矩陣。沒(méi)什么理由，就這么做了。

來(lái)看看向量v=(x, y, z)乘以矩陣會(huì)出現(xiàn)什么？

從左邊到第一個(gè)等號(hào)右邊，說(shuō)明這個(gè)乘法運(yùn)算給v賦予了新的坐標(biāo)值。廢話。

從第一個(gè)等號(hào)右邊到第二個(gè)等號(hào)右邊，說(shuō)明這個(gè)新的坐標(biāo)值與基向量p、q、r的關(guān)系等同于v與原始基向量p0=(1, 0, 0)，q0=(0, 1, 0)，r0=(0, 0, 1)的關(guān)系，這就是新坐標(biāo)值的意義所在。

這也是矩陣乘法設(shè)計(jì)成這樣的價(jià)值所在。

所以，把3×3矩陣M的3行看做轉(zhuǎn)換后的3個(gè)基向量，那么任意一個(gè)1×3的行向量v乘以M，就得到了v轉(zhuǎn)換后的坐標(biāo)。這就是說(shuō)，乘以該矩陣就相當(dāng)于執(zhí)行了一次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。若有aM=b，我們就可以說(shuō)，M將a轉(zhuǎn)換到b。

如何建立需要的矩陣？

上一節(jié)說(shuō)明了，3×3矩陣的每一行都能解釋為轉(zhuǎn)換后的基向量。初始坐標(biāo)系中的向量/點(diǎn)經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換，得到了各自新的坐標(biāo)值。那么，初始坐標(biāo)系中的基向量p0=(1, 0, 0)，q0=(0, 1, 0)，r0=(0, 0, 1)經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換，得到的新坐標(biāo)值是？

觀察這三個(gè)式子，你會(huì)發(fā)現(xiàn)新的基向量恰好組成了我們需要的轉(zhuǎn)換矩陣。

一般情況下，我們是不能預(yù)先得到轉(zhuǎn)換矩陣的。而三個(gè)式子就給出了獲取轉(zhuǎn)換矩陣的方法。就是說(shuō)，只要我們能先用別的什么方法求出新的基向量的坐標(biāo)值，就能拼出轉(zhuǎn)換矩陣，然后就可以從任意一個(gè)向量/點(diǎn)的初始坐標(biāo)值得到其新的坐標(biāo)值！

總之，矩陣等價(jià)于變換后的基向量。

2D示例

比如這個(gè)矩陣：

這個(gè)矩陣代表的變換是什么？

首先，從矩陣中抽出基向量p和q：

下圖展示了p0=(1, 0), q0=(0, 1)轉(zhuǎn)換到p,q后的樣子：

加個(gè)圖片會(huì)看起來(lái)更直觀：

“不幸的是，沒(méi)有人能告訴您矩陣像什么——您必須自己去感受。”

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的《3D Math Primer for Graphics and Game Development》读书笔记1的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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