《3D Math Primer for Graphics and Game Development》讀書筆記1

本文是《3D Math Primer for Graphics and Game Development》第一版的讀書筆記。第二版貌似還沒有中文版。

本書網站gamemath.com。中文版居然給了翻譯公司的網址，而且里面還什么有用的都沒有，囧。

第2章 笛卡爾坐標系統(tǒng)

左手坐標系的記憶方法

伸出左手，手指依次是（1）大拇指、（2）食指、（3）中指；坐標軸按字母表依次是（1）X軸、（2）Y軸、（3）Z軸。他們分別對應起來，用左手擺成下圖的樣子（不錯的pose啊），就是左手坐標系。

右手坐標系的記憶方法

同上，用右手就行了。

約定俗成和習慣

傳統(tǒng)的計算機圖形學使用左手坐標系，線性代數(shù)則傾向于右手坐標系。

兩種坐標系沒有優(yōu)劣之分，只是使用習慣不同。

本書使用左手坐標系。

第3章 多坐標系

攝像機坐標系

本書約定的攝像機坐標系，攝像機在原點，X軸向右，Z軸向前，Y軸向上，如下圖所示。

許多圖形學書中習慣使用右手系，Z軸向外，即從屏幕指向讀者。

坐標系變換

坐標系變換的意思：知道某一點P在坐標系A中的坐標，如何獲取P在另一坐標系B中的坐標？

只需在坐標系A中定位坐標系B（描述B的原點和軸在A中的值）。后文會詳述。

包圍盒

向量軸對齊包圍盒是axially aligned bounding box（AABB）的翻譯。我就是覺得包圍盒這個翻譯很不錯。

第4章 向量

相對位置

"50英里每小時的速度向北"能用向量表示。

向量能描述的是相對位置。相對位置的想法是很直接的：某個物體的位置，能通過描述它與已知點之間的相對關系來指明。

由此引出一個問題，這些"已知"點在哪兒？什么是"絕對"位置？令人吃驚的是不存在這樣的東西。因為在描述一個點的位置時，總要描述它和其它一些點的關系。這就沒完沒了了。

既然"已知"點不存在，那么如何通過所謂的"已知"點來描述位置呢？我的思路是：假設存在一個已知點的位置。假設已經找到了一個已知點，這樣就不必無限地去追溯"已知"點了。

相對論的一個重要觀點就是不存在絕對參考系。

第5章 向量運算

向量和點的關系

向量[x, y]描述了原點到點(x, y)的位移量。

向量和點在概念上不同，而在數(shù)學上等價。

等價是什么意思？等價就是兩者存在一一對應的關系。一一對應是什么意思？就是即使你和我毫不相干，但是你有一個什么東西，我就有一個相應的什么東西；反過來也一樣。比如你在照鏡子，你看到鏡子里的人臉上粘個米粒，就知道自己什么情況了。

向量投影

給定兩個向量v和n，可以把v分成兩部分：v_||和v_⊥。它們分別平行和垂直于n, 并滿足v = v_|| + v_⊥。我們把平行分量v_||稱作v在n上的投影。

投影的計算公式：

垂直分量的公式：

后文會有很多地方用到這兩個公式?？傊阒烙羞@兩個公式存在就行了，需要的時候拿來用。畢竟不需要做數(shù)學家。

第6章 3D向量類

類接口

好的類設計首先要回答下列問題："這個類將提供什么操作？"、"在哪些數(shù)據上執(zhí)行這些操作？"

從這些代碼和設計思路中就可以感受到作者的認真態(tài)度和深厚功底。

設計決策

如果世界不超過1英里，那么32位的float類型就足夠，因為24位尾數(shù)能提供1/250英寸的精度。

如果世界超過200英里（321.8688千米），比如整個江蘇省，那么32位float就不夠了。

不存在Point3類

有了Vector3類，就不需要Point3類。避免重復代碼以及滿世界的向量與點的轉換。

關于優(yōu)化

過早的優(yōu)化是一切罪惡的根源。優(yōu)化那些非瓶頸的代碼，使代碼復雜化，卻沒有得到相應的回報。

在過去，定點數(shù)是一種優(yōu)化技術。當今的處理器已經可以快速處理浮點數(shù)，這個技術就不需要了。

不要為了2%的優(yōu)化付出100%的代碼復雜性。

簡單點說，就是別優(yōu)化，我的技術水平沒那么高。

第7章 矩陣

矩陣用來描述兩個坐標系間的關系，通過定義一種運算來將一個坐標系中的向量/點轉換到另一個坐標系中。換句話說，就是已知一個向量/點在坐標系A中的坐標，又知坐標系A和坐標系B的關系，求其在坐標系B中的坐標。

向量是標量的數(shù)組，矩陣是向量的數(shù)組。

矩陣的下標從1開始。

矩陣乘法

記r×n矩陣A與n×c矩陣B的乘積為C。C的任意元素Cij如下：

矩陣乘法設計成這樣，是因為有實際意義，數(shù)學上也有研究價值。或者說，正是因為它反映了現(xiàn)實世界的某些東西，才會有數(shù)學意義。

本書給了一種非常好的記憶方法：

我擴展了一下，可以將A的各個列拆開，同時將B的各個行拆開：

變成下圖所示的樣子：

可以看到，矩陣的乘法運算，可以把A的各列拆開，B的各行拆開，分別運算，最后相加。拆分時，只要A的列和B的行的拆分方式相同即可。

還有另一種拆法：把A的各行拆開，B的各列拆開，分別運算，最后拼起來。

而且，還可以同時進行這兩種拆分。這時，你可以看做先進行第一種拆分，然后進行第二種拆分，這樣（對我來說）比較容易理解。這樣就能理解矩陣分塊計算的原理。

約定和習慣

本書默認使用行向量進行與矩陣的運算。

DirectX使用的是行向量。

OpenGL使用的是列向量。

線性變換

線性變換保留了模型中原有的直線和平行線，原點也保持不動。長度、角度、體積可能會改變。從非技術意義上說，線性變換可能"拉伸"坐標系，但不會"彎曲"或"卷折"坐標系。

旋轉、縮放、投影、鏡像是線性變換。

仿射（線性變換后平移）不是線性變換。

方陣能描述線性變換。

矩陣運算和3D變換

設有一組基向量p0=(1, 0, 0)，q0=(0, 1, 0)，r0=(0, 0, 1)，此時向量v=(x, y, z)就是v在p0=(1, 0, 0)，q0=(0, 1, 0)，r0=(0, 0, 1)這個坐標系里的坐標，即有v = xp0 + yq0 + zr0。

設p、q、r為任意一組基向量。例如p=(1, 0, 0)，q=(0, 1, 0)，r=(0, 0, 1)（互相垂直）；或p=(0.8, 0.6, 0)，q=(-0.6, 0.8, 0)，r=(0, 0, 1) （互相垂直）；或p=(1/√5)(2,-1,0)，q= (1/√45)(2,4,5)，r= (1/3)(1,2,-2) （互相垂直）或p=(1, 1, 1-√2 )，q=(1-√2, 1, 1)，r=(1, 1-√2, 1)（并非互相垂直）……

然后，我們用p、q、r構造矩陣。沒什么理由，就這么做了。

來看看向量v=(x, y, z)乘以矩陣會出現(xiàn)什么？

從左邊到第一個等號右邊，說明這個乘法運算給v賦予了新的坐標值。廢話。

從第一個等號右邊到第二個等號右邊，說明這個新的坐標值與基向量p、q、r的關系等同于v與原始基向量p0=(1, 0, 0)，q0=(0, 1, 0)，r0=(0, 0, 1)的關系，這就是新坐標值的意義所在。

這也是矩陣乘法設計成這樣的價值所在。

所以，把3×3矩陣M的3行看做轉換后的3個基向量，那么任意一個1×3的行向量v乘以M，就得到了v轉換后的坐標。這就是說，乘以該矩陣就相當于執(zhí)行了一次坐標轉換。若有aM=b，我們就可以說，M將a轉換到b。

如何建立需要的矩陣？

上一節(jié)說明了，3×3矩陣的每一行都能解釋為轉換后的基向量。初始坐標系中的向量/點經過轉換，得到了各自新的坐標值。那么，初始坐標系中的基向量p0=(1, 0, 0)，q0=(0, 1, 0)，r0=(0, 0, 1)經過轉換，得到的新坐標值是？

觀察這三個式子，你會發(fā)現(xiàn)新的基向量恰好組成了我們需要的轉換矩陣。

一般情況下，我們是不能預先得到轉換矩陣的。而三個式子就給出了獲取轉換矩陣的方法。就是說，只要我們能先用別的什么方法求出新的基向量的坐標值，就能拼出轉換矩陣，然后就可以從任意一個向量/點的初始坐標值得到其新的坐標值！

總之，矩陣等價于變換后的基向量。

2D示例

比如這個矩陣：

這個矩陣代表的變換是什么？

首先，從矩陣中抽出基向量p和q：

下圖展示了p0=(1, 0), q0=(0, 1)轉換到p,q后的樣子：

加個圖片會看起來更直觀：

“不幸的是，沒有人能告訴您矩陣像什么——您必須自己去感受?！?/p>

總結

以上是生活随笔為你收集整理的《3D Math Primer for Graphics and Game Development》读书笔记1的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。