1. 什么是斐波那契數？

這里我借用百度百科上的解釋：斐波那契數，亦稱之為斐波那契數列（意大利語： Successione di Fibonacci)，又稱黃金分割數列、費波那西數列、費波拿契數、費氏數列，指的是這樣一個數列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在數學上，斐波納契數列以如下被以遞歸的方法定義：F0=0，F1=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n>=2，n∈N*），用文字來說，就是斐波那契數列列由 0 和 1 開始，之后的斐波那契數列系數就由之前的兩數相加。特別指出：0不是第一項，而是第零項。

在這個斐波那契數列中的數字，就被稱為斐波那契數。這個級數與大自然植物的關系極為密切。幾乎所有花朵的花瓣數都來自這個級數中的一項數字：菠蘿表皮方塊形鱗苞形成兩組旋向相反的螺線，它們的條數必須是這個級數中緊鄰的兩個數字（如左旋8行，右旋13行）；還有向日葵花盤……直到最近的1993年，人們才對這個古老而重要的級數給出真正滿意的解釋：此級數中任何相鄰的兩個數，次第相除，其比率都最為接近0.618034……這個值，它的極限就是所謂的"黃金分割數"。

2. 求第N個斐波那契數

求第N個斐波那契數比較簡單可以直接套用公式n = 0,1 時，fib(n) = 1；n > =2 時，fib(n) = fib(n-2) + fib(n-1)在計算時有兩種算法：遞歸和非遞歸。如下：

1 //非遞歸算法 2 long long fib1(size_t N) { 3 long long a = 0, b = 1, c = 0; 4 if (N < 2) { 5 return N; 6 } 7 else { 8 for (long long i = 2; i <= N; ++i) { 9 c = a + b; 10 a = b; 11 b = c; 12 } 13 } 14 return c; 15 } 16 int main() 17 { 18 printf("%lld", fib1(10)); 19 getchar(); 20 return 0; 21 } //此算法最大的優點是不存在重復計算，故效率比遞歸算法快的多得多。 1 //遞歸算法 2 long long fib2(size_t N) { 3 if (N < 2) 4 return N; 5 return fib2(N - 1) + fib2(N - 2); 6 } 7 int main() 8 { 9 printf("%lld", fib2(10)); 10 getchar(); 11 return 0; 12 }

遞歸可以使程序看起來比較簡潔，但缺點是效率比較低，并且可能導致棧溢出，當需要計算的數稍大一點，就需要很長的計算時間，因此需要靈活使用遞歸。

3. 二分法查找

3.1 二分查找的非遞歸算法

1 template<typename T> 2 T* BinarySearch(T* array,int number,const T& data) //data要查找的數，number查找范圍長度，array要查找的數組 3 { 4 assert(number>=0); 5 int left = 0; 6 int right = number-1; 7 while (right >= left) 8 { 9 int mid = (left&right) + ((left^right)>>1); 10 if (array[mid] > data) 11 { 12 right = mid - 1; 13 } 14 else if (array[mid] < data) 15 { 16 left = mid + 1; 17 } 18 else 19 { 20 return (array + mid); 21 } 22 } 23 return NULL; 24 }

3.2 二分查找遞歸算法

1 template<typename T> 2 T* BinarySearch(T* left,T* right,const T& data) 3 { 4 assert(left); 5 assert(right); 6 if (right >=left) 7 { 8 T* mid =left+(right-left)/2; 9 if (*mid == data) 10 return mid; 11 else 12 return *mid > data ? BinarySearch(left, mid - 1, data) : BinarySearch(mid + 1, right, data); 13 } 14 else 15 { 16 return NULL; 17 } 18 }

4. 時間復雜度與空間復雜度

時間復雜度：一般情況下，算法中基本操作重復執行的次數是問題規模n的某個函數f(n)，進而分析f(n)隨n的變化情況并確定T(n)的數量級。這里用"O"來表示數量級，給出算法的時間復雜度。 T(n)=O(f(n));? ? ? ? ? ? ? ? ? 它表示隨著問題規模的n的增大，算法的執行時間的增長率和f(n)的增長率相同，這稱作算法的漸進時間復雜度，簡稱時間復雜度。而我們一般討論的是最壞時間復雜度，這樣做的原因是：最壞情況下的時間復雜度是算法在任何輸入實例上運行時間的上界，分析最壞的情況以估算算法指向時間的一個上界。 時間復雜度的分析方法： （1）時間復雜度就是函數中基本操作所執行的次數； （2）一般默認的是最壞時間復雜度，即分析最壞情況下所能執行的次數； （3）忽略掉常數項； （4）關注運行時間的增長趨勢，關注函數式中增長最快的表達式，忽略系數； （5）計算時間復雜度是估算隨著n的增長函數執行次數的增長趨勢； （6）遞歸算法的時間復雜度為：遞歸總次數 * 每次遞歸中基本操作所執行的次數； 常用的時間復雜度有以下七種，算法時間復雜度依次增加：O(1)常數型、O(log2?n)對數型、O(n)線性型、O(nlog2n)二維型、O(n^2)平方型、O(n^3)立方型、O(2^n)指數型。 空間復雜度： 算法的空間復雜度并不是計算實際占用的空間，而是計算整個算法的輔助空間單元的個數，與問題的規模沒有關系。算法的空間復雜度S(n)定義為該算法所耗費空間的數量級。 S(n)=O(f(n)) ?若算法執行時所需要的輔助空間相對于輸入數據量n而言是一個常數，則稱這個算法的輔助空間為O(1);? 遞歸算法的空間復雜度：遞歸深度N*每次遞歸所要的輔助空間， 如果每次遞歸所需的輔助空間是常數，則遞歸的空間復雜度是 O(N)。

5. 斐波那契數的時間復雜度與空間復雜度分析

5.1 非遞歸算法時間復雜度分析

?使用非遞歸算法求到第n個斐波那契數，是從第2個數開始，將前兩個數相加求求后一個數，再將后一個數賦值給前一個數，再計算前兩個數相加的結果。依次類推直到第n個數，用n-1個數和n-2個數相加求出結果，這樣的好處是，我們只計算了n-1次就求出了結果，即時間復雜度為O(n)；我們以代碼中測試數10為例詳解求第十個數的過程。當N=10時，進入函數首先判斷，然后走下面的分支開始計算

計算了N-1次，得出了結果所以時間復雜度是O（N）。

非遞歸算法空間復雜度分析
此函數內部最多時一共開辟了a, b, c, i四個變量空間復雜度是常數，即為O（1）。

5.2 遞歸算法時間復雜度分析

在遞歸算法中，求解fib2(n)，把它推到求解fib2(n-1)和fib2(n-2)。也就是說，為計算fib2(n)，必須先計算

fib2(n-1)和fib2(n-2)，而計算fib2(n-1)和fib2(n-2)，時按照表達式及計算法則，需先計算又必須先計算fib2(n-1)，而fib2(n-1)由fib2(n-2)和fib2(n-3)計算得來，而這之中的和fib2(n-2)由fib2(n-3)和fib2(n-4)計算得來......依次類推，表面上看不出有何復雜度，但是仔細分析可知，每一個計算fib2(n)的分支都會衍生出計算直至(1)和fib(0)，也就是說每個分支都要自己計算數本身到1的斐波那契數列，這樣就增加了龐大且冗雜的運算量，還是以10 為例詳細計算說明

圖中數字代表第N個斐波那契數，圖中沒有全部將計算步驟畫出來，但是已經足夠說明問題，它的每一步計算都被分成計算前兩個斐波那契數，以此類推。那么這就形成了一顆二叉樹，雖然不是滿二叉樹，但是我們分析的是最壞時間復雜度，而且只要估算出來遞歸次數隨N增長的趨勢即可，故可以近似將它看成滿二叉樹，其中的節點數就是計算的次數，也就是復雜度，由公式：節點數=2^h-1（h為樹的高度）可得O（2^n）。

遞歸的時間復雜度是： ?遞歸次數*每次遞歸中執行基本操作的次數，所以時間復雜度是： O(2^N)

遞歸算法空間復雜度分析：

遞歸最深的那一次所耗費的空間足以容納它所有遞歸過程。遞歸產生的棧偵是要銷毀的，所以空間也就釋放了，要返回上一層棧偵繼續計算+號后面的數，所以它所需要的空間不是一直累加起來的，之后產生的棧偵空間都小于遞歸最深的那一次所耗費的空間。

遞歸的深度*每次遞歸所需的輔助空間的個數 ，所以空間復雜度是：O(N)

6.?求二分法的時間復雜度和空間復雜度

?6.1 ?非遞歸算法分析

分析： 假設最壞情況下，循環X次之后找到，則：2^x=n; x=logn(算法中如果沒寫，log默認底數為2) 循環的基本次數是log2?N，所以:?時間復雜度是O(logN); 由于輔助空間是常數級別的所以：空間復雜度是O(1);

6.2 遞歸算法復雜度分析

假設最壞情況下，循環X次之后找到，則：2^x=n; x=logn(算法中如果沒寫，log默認底數為2) 遞歸的次數和深度都是log2?N,每次所需要的輔助空間都是常數級別的： 時間復雜度:O(log2?N)； 空間復雜度：O(log2N?)。

7. ?擴展-----不用循環法和遞歸法求1+2+3+...+N（思考一種復雜度為O（1）的解法）

1 class Temp 2 { 3 public: 4 Temp(){ 5 ++N; 6 Sum += N; 7 } 8 static void Reset(){ 9 N = 0; 10 Sum = 0; 11 } 12 static int GetSum(){ 13 return Sum; 14 } 15 private: 16 static int N; 17 static int Sum; 18 }; 19 int Temp::N = 0; 20 int Temp::Sum = 0; 21 int solution_Sum(int n){ 22 Temp::Reset(); 23 Temp *a = new Temp[n]; 24 delete[]a; 25 a = 0; 26 return Temp::GetSum(); 27 } 28 int main(){ 29 cout << solution_Sum(100) << endl; 30 getchar(); 31 return 0; 32 33 }

轉載于:https://www.cnblogs.com/33debug/p/6848330.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的斐波那契数与二分法的递归与非递归算法及其复杂度分析的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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